Considere a função
. Determine a expressão para
e calcule o valor de
.
Passo 1
O enunciado dá a função
Perguntas pedidas:
- Encontrar uma expressão fechada para
(ou seja, escrever sem integral). - Calcular o valor de
.
Informações relevantes do enunciado:
- O integrando é
, que pode ser escrito como . - Os limites de integração são de
até . - A variável de integração é
. - Observação importante: a função
tem singularidade em , então a integral definida como escrita é imediatamente bem definida sempre que o caminho de integração não passe por . Em particular, para não há problema (o intervalo fica todo em números positivos).
Passo 2
Vamos encontrar uma antiderivada (primitiva) de
. Usamos a regra de potência para integrais: para qualquer
,
onde
é a constante de integração. Explicando a regra: a operação de integrar “aumenta” o expoente em
e divide pelo novo expoente; isso vem do fato de que, ao derivar
, o fator
cancela e recuperamos
. Aqui
, que é diferente de
, então a fórmula vale.
Aplicando com
:
Em notação mais comum,
Passo 3
Agora use o Teorema Fundamental do Cálculo (parte que liga antiderivada a integral definida): se
é uma antiderivada de
(ou seja,
), então
No nosso caso podemos escolher
, pois
. Portanto
Fazendo as contas:
Essa é a expressão fechada de
. Observação rápida: essa expressão está válida para
(no contexto da integral direta de
a
sem passar por
).
Passo 4
Calcule
substituindo
na expressão obtida:
Passo 5
Verificação rápida (para ganhar confiança): derive a expressão encontrada para
. Temos
ou seja, a derivada de
é exatamente o integrando, como deveria ser pelo Teorema Fundamental do Cálculo.