Considere a função g(x)=\int_{1}^{x} \frac{1}{t^{2}} d t. Determine a expressão para g(x) e calcule o valor de g(2).

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x)=\int_{1}^{x}\frac{1}{t^{2}}\,dt.
Perguntas pedidas:
  1. Encontrar uma expressão fechada para g(x) (ou seja, escrever g(x) sem integral).
  2. Calcular o valor de g(2).
Informações relevantes do enunciado:
  • O integrando é \frac{1}{t^{2}}, que pode ser escrito como t^{-2}.
  • Os limites de integração são de t=1 até t=x.
  • A variável de integração é t.
  • Observação importante: a função \frac{1}{t^{2}} tem singularidade em t=0, então a integral definida como escrita é imediatamente bem definida sempre que o caminho de integração não passe por t=0. Em particular, para x>0 não há problema (o intervalo [1,x] fica todo em números positivos).

Passo 2

Vamos encontrar uma antiderivada (primitiva) de \frac{1}{t^{2}}=t^{-2}. Usamos a regra de potência para integrais: para qualquer n\neq -1,
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração. Explicando a regra: a operação de integrar “aumenta” o expoente em 1 e divide pelo novo expoente; isso vem do fato de que, ao derivar \frac{t^{n+1}}{n+1}, o fator n+1 cancela e recuperamos t^{n}. Aqui n=-2, que é diferente de -1, então a fórmula vale.
Aplicando com n=-2:
\int t^{-2}\,dt=\frac{t^{-2+1}}{-2+1}+C=\frac{t^{-1}}{-1}+C=-t^{-1}+C.
Em notação mais comum,
\int \frac{1}{t^{2}}\,dt=-\frac{1}{t}+C.

Passo 3

Agora use o Teorema Fundamental do Cálculo (parte que liga antiderivada a integral definida): se F é uma antiderivada de f (ou seja, F'(t)=f(t)), então
\int_{a}^{x} f(t)\,dt = F(x)-F(a).
No nosso caso podemos escolher F(t)=-\dfrac{1}{t}, pois F'(t)=\dfrac{1}{t^{2}}. Portanto
g(x)=\int_{1}^{x}\frac{1}{t^{2}}\,dt=F(x)-F(1)=-\frac{1}{x}-\Big(-\frac{1}{1}\Big).
Fazendo as contas:
g(x)=-\frac{1}{x}+1=1-\frac{1}{x}.
Essa é a expressão fechada de g(x). Observação rápida: essa expressão está válida para x>0 (no contexto da integral direta de 1 a x sem passar por 0).

Passo 4

Calcule g(2) substituindo x=2 na expressão obtida:
g(2)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Verificação rápida (para ganhar confiança): derive a expressão encontrada para g(x). Temos
\frac{d}{dx}\Big(1-\frac{1}{x}\Big)=\frac{d}{dx}\big(-x^{-1}\big)=x^{-2}=\frac{1}{x^{2}},
ou seja, a derivada de g é exatamente o integrando, como deveria ser pelo Teorema Fundamental do Cálculo.

Resposta

g(x)=1-\dfrac{1}{x}
g(2)=\dfrac{1}{2}

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