Seja f(x)=\int_{1}^{x^{2}} \frac{1}{t} d t. Encontre a expressão para f(x) e calcule f(2).

Passo 1

Enunciado dado: f(x)=\int_{1}^{x^{2}} \frac{1}{t}\,dt.
O que é pedido:
  • Encontrar uma expressão fechada para f(x) (ou seja, eliminar a integral e escrever f(x) em termos de funções elementares).
  • Calcular f(2).
Informações relevantes do enunciado:
  • A variável de integração é t.
  • O integrando é \tfrac{1}{t}, definido para t\neq 0.
  • O intervalo de integração vai de t=1 até t=x^{2}.
  • Devemos observar possíveis restrições no valor de x (por exemplo x=0 x^{2}=0, que toca a singularidade t=0).

Passo 2

Qual é a primitiva de \tfrac{1}{t}? Vou explicar devagarinho.
A derivada de \ln|t| é
\frac{d}{dt}\ln|t|=\frac{1}{t}\quad\text{para }t\neq 0.
Isto mostra que uma antiderivada (primitiva) de \tfrac{1}{t} é \ln|t|. A presença do valor absoluto serve para que a função esteja bem definida tanto para t>0 quanto para t<0; na nossa integral, como os limites envolvidos são positivos (começamos em 1), o valor absoluto não causa surpresa, mas é bom lembrar por que ele aparece.

Passo 3

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo: se F(t) é uma primitiva de \tfrac{1}{t}, então
\int_{1}^{x^{2}} \frac{1}{t}\,dt = F(x^{2})-F(1).
Tomando F(t)=\ln|t| obtemos
f(x)=\ln|x^{2}|-\ln|1|.
Como \ln|1|=0, isso simplifica para
f(x)=\ln|x^{2}|.

Passo 4

Simplificando a expressão e discutindo domínio: para todo x\neq 0 temos x^{2}>0, então |x^{2}|=x^{2} e
f(x)=\ln(x^{2}).
Usando a propriedade dos logaritmos \ln(a^{b})=b\ln(a) (valendo aqui com a=|x| porque queremos logaritmo de algo positivo), podemos escrever também
f(x)=2\ln|x|\qquad (x\neq 0).
Observação sobre o domínio: x=0 não está no domínio porque \int_{1}^{0}\tfrac{1}{t}\,dt envolve o ponto t=0 onde \tfrac{1}{t} não é integrável (a integral seria imprópria e diverge). Portanto a expressão válida é f(x)=\ln(x^{2})=2\ln|x| para x\neq 0.

Passo 5

Calcule f(2) substituindo x=2:
f(2)=\ln(2^{2})=\ln 4=2\ln 2.
Se quiser um valor numérico aproximado, \ln 2\approx 0,6931 então f(2)\approx 1,3862.

Resposta

\displaystyle f(x)=\ln(x^{2})=2\ln|x|\quad (x\neq 0)
\displaystyle f(2)=\ln 4=2\ln 2

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