Seja
. Encontre a expressão para
e calcule
.
Passo 1
Enunciado dado:
.
O que é pedido:
O que é pedido:
- Encontrar uma expressão fechada para
(ou seja, eliminar a integral e escrever em termos de funções elementares). - Calcular
.
Informações relevantes do enunciado:
- A variável de integração é
. - O integrando é
, definido para . - O intervalo de integração vai de
até . - Devemos observar possíveis restrições no valor de
(por exemplo dá , que toca a singularidade ).
Passo 2
Qual é a primitiva de
? Vou explicar devagarinho.
A derivada de é
A derivada de
Isto mostra que uma antiderivada (primitiva) de
é
. A presença do valor absoluto serve para que a função esteja bem definida tanto para
quanto para
; na nossa integral, como os limites envolvidos são positivos (começamos em
), o valor absoluto não causa surpresa, mas é bom lembrar por que ele aparece.
Passo 3
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo: se
é uma primitiva de
, então
Tomando
obtemos
Como
, isso simplifica para
Passo 4
Simplificando a expressão e discutindo domínio: para todo
temos
, então
e
Usando a propriedade dos logaritmos
(valendo aqui com
porque queremos logaritmo de algo positivo), podemos escrever também
Observação sobre o domínio:
não está no domínio porque
envolve o ponto
onde
não é integrável (a integral seria imprópria e diverge). Portanto a expressão válida é
para
.
Passo 5
Calcule
substituindo
:
Se quiser um valor numérico aproximado,
então
.