Considere a função g(x)=xx^2-9. Determine:
a) Domínio;
b) Interseções com os eixos x e y;
c) Assíntotas horizontais e verticais (se existirem);
d) Intervalos de crescimento e decrescimento;
e) Máximos e Mínimos locais;
f) Concavidade e Pontos de Inflexão;
g) O gráfico de g através das informaçães obtidas nos itens anteriores.

Passo 1

A função que temos é g(x)=xx^2-9. Vamos estudar domínio, interceptos, assíntotas, derivadas para monotonia e extremos, segunda derivada para concavidade e inflexão, e depois montar o esboço do gráfico.

Passo 2

Para achar o domínio, imponho que o denominador não seja zero: x^2-9neq0 Rightarrow xneqpm3. Logo o domínio é x. Para os interceptos, no eixo x=0 resolvo g(0)=0/(0-9)=0 pois é o numerador; (0,0). Então o ponto é interseção com ambos eixos.

Passo 3

Para as assíntotas verticais uso o que deu zero no denominador: x=3 e x=-3. Para a horizontal calculo limxtopminftyg(x)=limxtopminftyxx^2-9=0, logo y=0 é assíntota horizontal.

Passo 4

Para estudar crescimento, uso derivada. Pela regra do quociente:
g'(x)=1cdot(x^2-9)-xcdot2x(x^2-9)^2=-x^2-9(x^2-9)^2=-x^2+9(x^2-9)^2 Como x^2+9>0 e o denominador ao quadrado é sempre >0, temos g'(x)<0 em todo domínio. Então g é estritamente decrescente em cada um de ((-
fty,-3)), (-3,3) e (3,infty), sem máximos nem mínimos locais.

Passo 5

Para concavidade, calculo a segunda derivada. Dá
g''(x)=2x(x^2+27)(x^2-9)^3 O sinal vem de x/(x^2-9)^3. Concluo:
– Em x<0: (x^2-9)^3>0 e Rightarrow g''<0 (-3,0) (côncavo para baixo).
– Em x<0: (x^2-9)^3<0, Rightarrow g''>0 (0,3) (côncavo para cima).
– Em x>0: (x^2-9)^3<0, Rightarrow g''<0 (3,infty) (côncavo para baixo).
– Em x>0: (x^2-9)^3>0, Rightarrow g''>0 g''(x)=0 (côncavo para cima).
A única raiz de x=0 é (0,0), que é ponto de inflexão em .

Passo 6

Com todas essas informações monto um esboço: domínio com três ramos, VA em x=pm3, HA em y=0, ponto (0,0), decrescente em cada intervalo e mudanças de concavidade em x=-3,0,3. Isso basta para desenhar o gráfico qualitativo de g.

Resposta

a) Domínio: (0,0)
b) Intersecções: único ponto x=-3
c) Assíntotas verticais: x=3, y=0; horizontal: (0,3)
d) Estritamente decrescente em cada ramo (não há crescimento)
e) Sem máximos nem mínimos locais
f) Concavidade: côncavo para baixo em (-3,0) e (3,infty), côncavo para cima em (0,0) e ; inflexão em
g) Gráfico: três ramos decrescentes com as assíntotas e mudança de concavidade descritas.

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