Considere a função
. Determine:
a) Domínio;
b) Interseções com os eixos
e
;
c) Assíntotas horizontais e verticais (se existirem);
d) Intervalos de crescimento e decrescimento;
e) Máximos e Mínimos locais;
f) Concavidade e Pontos de Inflexão;
g) O gráfico de
através das informaçães obtidas nos itens anteriores.
a) Domínio;
b) Interseções com os eixos
c) Assíntotas horizontais e verticais (se existirem);
d) Intervalos de crescimento e decrescimento;
e) Máximos e Mínimos locais;
f) Concavidade e Pontos de Inflexão;
g) O gráfico de
Passo 1
A função que temos é
. Vamos estudar domínio, interceptos, assíntotas, derivadas para monotonia e extremos, segunda derivada para concavidade e inflexão, e depois montar o esboço do gráfico.
Passo 2
Para achar o domínio, imponho que o denominador não seja zero:
. Logo o domínio é
. Para os interceptos, no eixo
resolvo
pois é o numerador;
. Então o ponto
é interseção com ambos eixos.
Passo 3
Para as assíntotas verticais uso o que deu zero no denominador:
e
. Para a horizontal calculo
, logo
é assíntota horizontal.
Passo 4
Para estudar crescimento, uso derivada. Pela regra do quociente:
fty,-3)),
e
, sem máximos nem mínimos locais.
Passo 5
Para concavidade, calculo a segunda derivada. Dá
– Em
:
e
(côncavo para baixo).
– Em :
,
(côncavo para cima).
– Em :
,
(côncavo para baixo).
– Em :
,
(côncavo para cima).
A única raiz de é
, que é ponto de inflexão em
.
– Em
– Em
– Em
A única raiz de
Passo 6
Com todas essas informações monto um esboço: domínio com três ramos, VA em
, HA em
, ponto
, decrescente em cada intervalo e mudanças de concavidade em
. Isso basta para desenhar o gráfico qualitativo de
.
Resposta
a) Domínio:
b) Intersecções: único ponto
c) Assíntotas verticais: ,
; horizontal:
d) Estritamente decrescente em cada ramo (não há crescimento)
e) Sem máximos nem mínimos locais
f) Concavidade: côncavo para baixo em e
, côncavo para cima em
e
; inflexão em
g) Gráfico: três ramos decrescentes com as assíntotas e mudança de concavidade descritas.
b) Intersecções: único ponto
c) Assíntotas verticais:
d) Estritamente decrescente em cada ramo (não há crescimento)
e) Sem máximos nem mínimos locais
f) Concavidade: côncavo para baixo em
g) Gráfico: três ramos decrescentes com as assíntotas e mudança de concavidade descritas.