Se
e
, qual é a expressão para a derivada de
em relação at?
Escolha uma opção:a.
b.
c.
d.
e.
Escolha uma opção:a.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre derivadas, especificamente usando a regra da cadeia. A gente tem uma função $ z = f(x, y) $, onde $ x $ e $ y $ também dependem de $ t $. Precisamos encontrar a expressão para a derivada de $ z $ em relação a $ t $, ou seja, $ \frac{dz}{dt} $.
Passo 2
Primeiro, lembra que quando temos uma função composta, onde uma variável depende de outra, usamos a regra da cadeia para derivar. No nosso caso, $ z $ depende de $ x $ e $ y $, que por sua vez dependem de $ t $.
Passo 3
A regra da cadeia para essa situação diz que:
Aqui, $ \frac{\partial f}{\partial x} $ e $ \frac{\partial f}{\partial y} $ são as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, respectivamente.
Passo 4
Vamos calcular $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $:
-
Sabemos que $ x = t^2 $. Então, derivando em relação a $ t $:
-
Também, $ y = \sin(t) $. Derivando em relação a $ t $:
Passo 5
Agora, substituímos esses resultados na expressão da regra da cadeia:
Resposta
A expressão correta para a derivada de $ z $ em relação a $ t $ é:
Opção c.