Se z=f(x, y), com x=t^2 e y=sen(t), qual é a expressão para a derivada de z em relação at?
Escolha uma opção:a. d zd t=partial fpartial x cdot cos (t)+partial fpartial y cdot sen(t)b. d zd t=partial fpartial x cdot sen(t)+partial fpartial y cdot 2 tc. d zd t=partial fpartial x cdot 2 t+partial fpartial y cdot cos (t)d. d zd t=partial fpartial x cdot 2 t+partial fpartial y cdot sen(t)e. d zd t=partial fpartial x cdot cos (t)+partial fpartial y cdot 2 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre derivadas, especificamente usando a regra da cadeia. A gente tem uma função $ z = f(x, y) $, onde $ x $ e $ y $ também dependem de $ t $. Precisamos encontrar a expressão para a derivada de $ z $ em relação a $ t $, ou seja, $ \frac{dz}{dt} $.

Passo 2

Primeiro, lembra que quando temos uma função composta, onde uma variável depende de outra, usamos a regra da cadeia para derivar. No nosso caso, $ z $ depende de $ x $ e $ y $, que por sua vez dependem de $ t $.

Passo 3

A regra da cadeia para essa situação diz que:
dzdt = partial fpartial x cdot dxdt + partial fpartial y cdot dydt
Aqui, $ \frac{\partial f}{\partial x} $ e $ \frac{\partial f}{\partial y} $ são as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, respectivamente.

Passo 4

Vamos calcular $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $:
  • Sabemos que $ x = t^2 $. Então, derivando em relação a $ t $:
    dxdt
  • Também, $ y = \sin(t) $. Derivando em relação a $ t $:
    dydt

Passo 5

Agora, substituímos esses resultados na expressão da regra da cadeia:
dzdt = partial fpartial x cdot 2t + partial fpartial y cdot cos(t)

Resposta

A expressão correta para a derivada de $ z $ em relação a $ t $ é:
z
Opção c.

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