Considere a função homogênea generalizada escrita como
onde
é uma função de escala,
é o fator de escala,
, com
são os expoentes críticos e
são as variáveis de escala. Mostre que
Este resultado é uma generalização da relação de Euler.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre funções homogêneas generalizadas e quer que a gente mostre uma relação que é uma generalização da famosa Relação de Euler. A matéria aqui envolve funções de escala e derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de funções homogêneas e aplicar derivadas em relação ao fator de escala.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função homogênea generalizada. A definição dada é:
Isso significa que se a gente escala cada variável
por
, o valor da função
é escalado por
.
Passo 3
Para avançar, vamos derivar essa igualdade em relação a
. Isso vai nos ajudar a relacionar as derivadas parciais de
com os expoentes
.
Vamos derivar ambos os lados da equação:
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia no lado esquerdo:
No lado direito, a derivada é mais simples:
Passo 5
Agora, igualamos as duas expressões derivadas:
Passo 6
Para simplificar, vamos avaliar essa igualdade no ponto onde
. Isso elimina o
, pois qualquer número elevado a zero é 1.
Resposta
Portanto, mostramos que
Essa é a generalização da Relação de Euler para funções homogêneas generalizadas.