Considere a função homogênea generalizada escrita como
f(lambda^theta1 x1, lambda^theta2 x2, lambda^theta3 x3, ldots, lambda^thetan xn)=lambda f(x1, x2, x3, ldots, xn),
onde f é uma função de escala, lambda é o fator de escala, thetai, com i= 1,2,3, ldots, n são os expoentes críticos e xi são as variáveis de escala. Mostre que
& theta1 x1(partial fpartial x1)(x2, x3, ldots, xn)+theta2 x2(partial fpartial x2)(x1, x3, ldots, xn)+ & +theta3 x3(partial fpartial x3)(x1, x2, ldots, xn)+ldots+thetan xn(partial fpartial xn)(x1, x2, ldots, xn-1)= & =f(x1, x2, x3, ldots, xn)
Este resultado é uma generalização da relação de Euler.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre funções homogêneas generalizadas e quer que a gente mostre uma relação que é uma generalização da famosa Relação de Euler. A matéria aqui envolve funções de escala e derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de funções homogêneas e aplicar derivadas em relação ao fator de escala.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função homogênea generalizada. A definição dada é:
f(lambda^theta1 x1, lambda^theta2 x2, lambda^theta3 x3, ldots, lambda^thetan xn)=lambda f(x1, x2, x3, ldots, xn)
Isso significa que se a gente escala cada variável xi por lambda^thetai, o valor da função f é escalado por lambda.

Passo 3

Para avançar, vamos derivar essa igualdade em relação a lambda. Isso vai nos ajudar a relacionar as derivadas parciais de f com os expoentes thetai.
Vamos derivar ambos os lados da equação:
ddlambda f(lambda^theta1 x1, ldots, lambda^thetan xn) = ddlambda [ lambda f(x1, ldots, xn) ]

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia no lado esquerdo:
sumi=1^n partial fpartial xi cdot ddlambda ( lambda^thetai xi ) = sumi=1^n partial fpartial xi cdot thetai lambda^thetai -1 xi
No lado direito, a derivada é mais simples:
f(x1, ldots, xn) + lambda cdot 0 = f(x1, ldots, xn)

Passo 5

Agora, igualamos as duas expressões derivadas:
sumi=1^n thetai lambda^thetai -1 xi partial fpartial xi = f(x1, ldots, xn)

Passo 6

Para simplificar, vamos avaliar essa igualdade no ponto onde lambda = 1. Isso elimina o lambda^thetai -1, pois qualquer número elevado a zero é 1.
sumi=1^n thetai xi partial fpartial xi = f(x1, ldots, xn)

Resposta

Portanto, mostramos que
theta1 , x1(partial fpartial x1) + theta2 , x2(partial fpartial x2) + ldots + thetan , xn(partial fpartial xn) = f(x1, x2, ldots, xn)
Essa é a generalização da Relação de Euler para funções homogêneas generalizadas.

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