Considere uma partícula clássica de massa m que se move sob a ação de um potencial
V(r)=ar-br^2
com a>0 e b>0. O hamiltoniano que descreve o sistema é dado por
H(p, r)=p^22 m+ar-br^2
O ponto de máxima energia cinética ocorre quando r=b / a.
(a) Determine uma expressão para o número de estados microscópicos do sistema com energia entre E e E+de.

Passo 1

Vamos resumir o que precisa ser feito! Temos uma partícula de massa $ m $ que se move sob a influência de um potencial $ V® = \frac{a}{r} - \frac{b}{r^{2}} $, onde $ a > 0 $ e $ b > 0 $. O Hamiltoniano do sistema é dado por:
m
Nosso objetivo é determinar uma expressão para o número de estados microscópicos do sistema com energia entre $ E $ e $ E + \delta E $. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica estatística clássica, especificamente a ideia de densidade de estados na fase espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que na mecânica clássica, cada estado microscópico do sistema corresponde a um ponto na fase espaço, que é definido pelas coordenadas $ r $ e $ p $ (posição e momento). O número de estados com energia entre $ E $ e $ E + \delta E $ corresponde à região da fase espaço onde o Hamiltoniano satisfaz:
r
Para encontrar o número de estados, vamos calcular o volume dessa região na fase espaço.

Passo 3

Vamos considerar que a partícula está em um espaço unidimensional para simplificar. O Hamiltoniano é:
H(p, r) = p^22m + ar - br^2
Queremos encontrar todas as combinações de $ p $ e $ r $ que satisfazem $ E \leq H(p, r) \leq E + \delta E $.

Passo 4

Para isso, resolvemos a inequação para $ p $:
p
Isolando $ p^{2} $:
E <= p^22m + ar - br^2 <= E + de
Tomando a raiz quadrada:
p^2
e
2m(E - ar + br^2) <= p^2 <= 2m(E + de

Passo 5

O número de estados microscópicos $ \Omega(E) $ é proporcional ao volume da fase espaço onde as condições acima são satisfeitas. Em uma dimensão, isso se reduz a:
Omega(E)
onde $ h $ é a constante de Planck, mas como estamos em uma abordagem clássica, podemos ignorar fatores constantes e focar na integral.

Passo 6

Calculando a integral sobre $ p $, temos:
p
Substituindo as expressões de $ p_{max}® $ e $ p_{min}® $, obtemos:
integralpmin(r)^pmax(r) dp = pmax(r) - pmin(r)

Passo 7

Para pequenas $ \delta E $, podemos aproximar a diferença das raízes usando uma expansão linear:
de
Aplicando essa aproximação:
raizE + de

Passo 8

Portanto, a expressão para o número de estados microscópicos com energia entre $ E $ e $ E + \delta E $ é:
E

Resposta

A expressão para o número de estados microscópicos do sistema com energia entre $ E $ e $ E + \delta E $ é:
E

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