Considere uma partícula clássica de massa
que se move sob a ação de um potencial
com
e
. O hamiltoniano que descreve o sistema é dado por
O ponto de máxima energia cinética ocorre quando
.
(a) Determine uma expressão para o número de estados microscópicos do sistema com energia entre
e
.
(a) Determine uma expressão para o número de estados microscópicos do sistema com energia entre
Passo 1
Vamos resumir o que precisa ser feito! Temos uma partícula de massa $ m $ que se move sob a influência de um potencial $ V® = \frac{a}{r} - \frac{b}{r^{2}} $, onde $ a > 0 $ e $ b > 0 $. O Hamiltoniano do sistema é dado por:
Nosso objetivo é determinar uma expressão para o número de estados microscópicos do sistema com energia entre $ E $ e $ E + \delta E $. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica estatística clássica, especificamente a ideia de densidade de estados na fase espaço.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que na mecânica clássica, cada estado microscópico do sistema corresponde a um ponto na fase espaço, que é definido pelas coordenadas $ r $ e $ p $ (posição e momento). O número de estados com energia entre $ E $ e $ E + \delta E $ corresponde à região da fase espaço onde o Hamiltoniano satisfaz:
Para encontrar o número de estados, vamos calcular o volume dessa região na fase espaço.
Passo 3
Vamos considerar que a partícula está em um espaço unidimensional para simplificar. O Hamiltoniano é:
Queremos encontrar todas as combinações de $ p $ e $ r $ que satisfazem $ E \leq H(p, r) \leq E + \delta E $.
Passo 4
Para isso, resolvemos a inequação para $ p $:
Isolando $ p^{2} $:
Tomando a raiz quadrada:
e
Passo 5
O número de estados microscópicos $ \Omega(E) $ é proporcional ao volume da fase espaço onde as condições acima são satisfeitas. Em uma dimensão, isso se reduz a:
onde $ h $ é a constante de Planck, mas como estamos em uma abordagem clássica, podemos ignorar fatores constantes e focar na integral.
Passo 6
Calculando a integral sobre $ p $, temos:
Substituindo as expressões de $ p_{max}® $ e $ p_{min}® $, obtemos:
Passo 7
Para pequenas $ \delta E $, podemos aproximar a diferença das raízes usando uma expansão linear:
Aplicando essa aproximação:
Passo 8
Portanto, a expressão para o número de estados microscópicos com energia entre $ E $ e $ E + \delta E $ é:
Resposta
A expressão para o número de estados microscópicos do sistema com energia entre $ E $ e $ E + \delta E $ é: