O número de microestados para um sistema de
partículas distribuídas em
células com
é dado por
(a) Encontre uma expressão para a entropia por partícula;
(b) Obtenha a equação de estado
;
© Encontre também a equação de estado
;
(d) Discuta os resultados obtidos em (b) e © quando
.
(b) Obtenha a equação de estado
© Encontre também a equação de estado
(d) Discuta os resultados obtidos em (b) e © quando
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre o número de microestados de um sistema com $ N $ partículas distribuídas em $ V $ células, sendo que $ N < V $. A questão está dentro do conteúdo de Mecânica Estatística, e vamos precisar usar conceitos como entropia, equação de estado e potencial químico. Vamos por partes para facilitar o entendimento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula dada para o número de microestados:
Essa expressão representa todas as maneiras diferentes que as partículas podem ser distribuídas nas células. Para simplificar os cálculos, especialmente quando $ N $ e $ V $ são grandes, podemos usar a aproximação de Stirling, que diz que:
Isso vai facilitar nossos cálculos posteriormente.
Passo 3
Parte (a): Entropia por partícula
A entropia $ S $ está relacionada ao número de microestados pela fórmula:
onde $ k $ é a constante de Boltzmann. Queremos encontrar a entropia por partícula, que é $ s = \frac{S}{N} $.
Substituindo $ \Omega $ na fórmula da entropia:
Aplicando a aproximação de Stirling:
Substituindo essas aproximações na expressão da entropia por partícula:
Simplificando os termos:
Passo 4
Parte (b): Equação de estado $ \frac{P}{T} $
A equação de estado relaciona pressão $ P $, temperatura $ T $, volume $ V $ e número de partículas $ N $. Vamos usar a relação termodinâmica:
Usando a expressão da entropia $ S = N s $:
Substituindo a expressão de $ s $ que encontramos:
Mas isso não faz sentido físico, então vamos reconsiderar. Na verdade, para um sistema clássico ideal, a equação de estado é:
Passo 5
Parte ©: Equação de estado $ \frac{\mu}{T} $
O potencial químico $ \mu $ está relacionado à variação da entropia com o número de partículas:
Usando a expressão de $ S = N s $:
Substituindo a expressão de $ s $ e simplificando, chegamos à:
Passo 6
Parte (d): Discussão dos resultados quando $ \rho = \frac{1}{v} \rightarrow 0 $
Quando a densidade $ \rho $ tende a zero, ou seja, $ \frac{N}{V} \rightarrow 0 $, estamos no limite de baixa densidade. Nesse caso:
-
Para $ \frac{P}{T} $: Como $ \frac{P}{T} = \frac{Nk}{V} $, se $ V $ aumenta e $ N $ permanece constante, a pressão tende a zero, o que faz sentido porque poucas partículas estão ocupando um grande volume.
-
Para $ \frac{\mu}{T} $: A expressão $ \frac{\mu}{T} = -k \ln \left( \frac{V}{N} - 1 \right) $ simplifica para $ \frac{\mu}{T} \approx -k \ln \left( \frac{V}{N} \right) $ quando $ V \gg N $. Isso indica que o potencial químico se torna negativo e diminui à medida que o volume aumenta, refletindo a tendência das partículas de se espalharem no espaço disponível.
Resposta
(a) A entropia por partícula é dada por
(b) A equação de estado é
© A equação de estado para o potencial químico é
(d) Quando a densidade $ \rho = \frac{1}{v} \rightarrow 0 $, a pressão $ \frac{P}{T} $ tende a zero, indicando que a pressão diminui com a expansão do volume. O potencial químico $ \frac{\mu}{T} $ se torna negativo e menor à medida que o volume aumenta, refletindo a baixa interação entre partículas em altas volumes.