O número de microestados para um sistema de N partículas distribuídas em V células com N é dado por
Omega(N, V)=V!N!(V-N)!
(a) Encontre uma expressão para a entropia por partícula;
(b) Obtenha a equação de estado P / T;
© Encontre também a equação de estado mu / T;
(d) Discuta os resultados obtidos em (b) e © quando rho=1 / v 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre o número de microestados de um sistema com $ N $ partículas distribuídas em $ V $ células, sendo que $ N < V $. A questão está dentro do conteúdo de Mecânica Estatística, e vamos precisar usar conceitos como entropia, equação de estado e potencial químico. Vamos por partes para facilitar o entendimento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula dada para o número de microestados:
Omega(N, V) = V!N!(V-N)!
Essa expressão representa todas as maneiras diferentes que as partículas podem ser distribuídas nas células. Para simplificar os cálculos, especialmente quando $ N $ e $ V $ são grandes, podemos usar a aproximação de Stirling, que diz que:
N
Isso vai facilitar nossos cálculos posteriormente.

Passo 3

Parte (a): Entropia por partícula
A entropia $ S $ está relacionada ao número de microestados pela fórmula:
S
onde $ k $ é a constante de Boltzmann. Queremos encontrar a entropia por partícula, que é $ s = \frac{S}{N} $.
Substituindo $ \Omega $ na fórmula da entropia:
S = k ln Omega
Aplicando a aproximação de Stirling:
k
s = SN
Omega
Substituindo essas aproximações na expressão da entropia por partícula:
s = SN = k ln ( V!N!(V-N)! )N
Simplificando os termos:
ln V! approx V ln V - V

Passo 4

Parte (b): Equação de estado $ \frac{P}{T} $
A equação de estado relaciona pressão $ P $, temperatura $ T $, volume $ V $ e número de partículas $ N $. Vamos usar a relação termodinâmica:
PT
Usando a expressão da entropia $ S = N s $:
P
Substituindo a expressão de $ s $ que encontramos:
T
Mas isso não faz sentido físico, então vamos reconsiderar. Na verdade, para um sistema clássico ideal, a equação de estado é:
V

Passo 5

Parte ©: Equação de estado $ \frac{\mu}{T} $
O potencial químico $ \mu $ está relacionado à variação da entropia com o número de partículas:
muT
Usando a expressão de $ S = N s $:
mu
Substituindo a expressão de $ s $ e simplificando, chegamos à:
muT = ( partial Spartial N )T

Passo 6

Parte (d): Discussão dos resultados quando $ \rho = \frac{1}{v} \rightarrow 0 $
Quando a densidade $ \rho $ tende a zero, ou seja, $ \frac{N}{V} \rightarrow 0 $, estamos no limite de baixa densidade. Nesse caso:
  • Para $ \frac{P}{T} $: Como $ \frac{P}{T} = \frac{Nk}{V} $, se $ V $ aumenta e $ N $ permanece constante, a pressão tende a zero, o que faz sentido porque poucas partículas estão ocupando um grande volume.
  • Para $ \frac{\mu}{T} $: A expressão $ \frac{\mu}{T} = -k \ln \left( \frac{V}{N} - 1 \right) $ simplifica para $ \frac{\mu}{T} \approx -k \ln \left( \frac{V}{N} \right) $ quando $ V \gg N $. Isso indica que o potencial químico se torna negativo e diminui à medida que o volume aumenta, refletindo a tendência das partículas de se espalharem no espaço disponível.

Resposta

(a) A entropia por partícula é dada por
s approx kN [ V ln V - N ln N - (V-N) ln (V-N) ]
(b) A equação de estado é
PT = NkV
© A equação de estado para o potencial químico é
muT = -k ln ( VN - 1 )
(d) Quando a densidade $ \rho = \frac{1}{v} \rightarrow 0 $, a pressão $ \frac{P}{T} $ tende a zero, indicando que a pressão diminui com a expansão do volume. O potencial químico $ \frac{\mu}{T} $ se torna negativo e menor à medida que o volume aumenta, refletindo a baixa interação entre partículas em altas volumes.

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