Considere a função
. Julgue as afirmativas abaixo:
(1) Existe uma vizinhança do ponto
dentro da qual o menor valor que a função
assume é 0 .
(1) Existe uma vizinhança do ponto
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para julgar a afirmativa:
(1) Existe uma vizinhança do ponto
dentro da qual o menor valor que a função
assume é
.
Informações relevantes que temos (listadas claramente):
- A função
é dada por . - A função
é definida por . - O ponto em questão é
. - A pergunta é se existe alguma vizinhança (isto é, algum intervalo aberto contendo
) em que o menor valor de seja .
Não vou resolver nada aqui ainda — só identifiquei o que foi pedido e quais dados temos.
Passo 2
Primeiro passo prático: escrever explicitamente
em termos mais simples. Como
, substituindo
temos
Os
e
se cancelam, então
Agora fatoramos
para entender melhor seu comportamento perto de
. Colocando
em evidência:
Repare que
é um quadrado perfeito; de fato
Portanto obtemos a forma fatorada muito conveniente
Explicação didática rápida sobre essa técnica (útil na prova):
- Procurar fatores comuns (aqui
) é um truque básico que simplifica a análise. - Reconhecer um trinômio quadrado perfeito como
ajuda bastante para ver sinais e pontos onde a função zera.
Passo 3
Vamos analisar o sinal de
perto de
.
Propriedades úteis:
- Para todo
, e exatamente quando . Isso vem da propriedade dos quadrados: o quadrado de um número real nunca é negativo. - Assim o sinal de
é determinado pelo sinal do fator , porque é sempre não-negativo.
Agora pense em uma vizinhança de
. Uma vizinhança é um intervalo aberto que contenha
, por exemplo
para algum
. Para que
seja não-negativa nessa vizinhança, basta garantir que
nessa vizinhança, pois então
e
implicam
.
Escolha prática (simples para a prova): tome
. Então a vizinhança é
. Para todo
em
temos
. Logo, para esses
,
Além disso, em
temos
, então
. Portanto, dentro do intervalo
a função
é sempre maior ou igual a
e atinge o valor
em
.
Lembrando o que significa “menor valor que a função assume”: é o menor valor real que a função atinge nesse conjunto. Se uma função é sempre maior ou igual a
no intervalo e em algum ponto desse intervalo vale exatamente
, então
é o menor valor e é atingido (ou seja, é um mínimo absoluto sobre esse intervalo).
Passo 4
Complemento: uma outra maneira (mais “calculus”) de ver que
é um mínimo local — útil como reforço didático.
Calcule a derivada de
. Como
, temos
Avalie em
:
logo
é um ponto crítico. Para classificar o ponto, usamos a segunda derivada:
e
Quando a segunda derivada em um ponto crítico é positiva, isso indica que o ponto é um mínimo local. Portanto
é um mínimo local de
e o valor
é o valor mínimo local — coerente com a análise por fatoração.
Didática sobre por que usei fatoração em vez de só derivada: fatoração nos dá imediatamente informação exata sobre o sinal e mostra que
em qualquer vizinhança onde
. A derivada é uma verificação alternativa e bem conhecida (teste da segunda derivada), mas exige cálculo. Na prova, se você perceber a fatoração, use-a — é mais rápido e robusto.
Resposta
Verdadeira.