Considere a função f(x)=x^{3}-2 x^{2}+x-1. Julgue as afirmativas abaixo:
(1) Existe uma vizinhança do ponto x=1 dentro da qual o menor valor que a função g(x)=f(x)+1 assume é 0 .

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{3}-2x^{2}+x-1 e pede para julgar a afirmativa:
(1) Existe uma vizinhança do ponto x=1 dentro da qual o menor valor que a função g(x)=f(x)+1 assume é 0.
Informações relevantes que temos (listadas claramente):
  • A função f é dada por f(x)=x^{3}-2x^{2}+x-1.
  • A função g é definida por g(x)=f(x)+1.
  • O ponto em questão é x=1.
  • A pergunta é se existe alguma vizinhança (isto é, algum intervalo aberto contendo 1) em que o menor valor de g seja 0.
Não vou resolver nada aqui ainda — só identifiquei o que foi pedido e quais dados temos.

Passo 2

Primeiro passo prático: escrever explicitamente g(x) em termos mais simples. Como g(x)=f(x)+1, substituindo f temos
g(x)=x^{3}-2x^{2}+x-1+1.
Os +1 e -1 se cancelam, então
g(x)=x^{3}-2x^{2}+x.
Agora fatoramos g(x) para entender melhor seu comportamento perto de x=1. Colocando x em evidência:
g(x)=x\bigl(x^{2}-2x+1\bigr).
Repare que x^{2}-2x+1 é um quadrado perfeito; de fato
x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}.
Portanto obtemos a forma fatorada muito conveniente
g(x)=x(x-1)^{2}.
Explicação didática rápida sobre essa técnica (útil na prova):
  • Procurar fatores comuns (aqui x) é um truque básico que simplifica a análise.
  • Reconhecer um trinômio quadrado perfeito como (x-1)^{2} ajuda bastante para ver sinais e pontos onde a função zera.

Passo 3

Vamos analisar o sinal de g(x)=x(x-1)^{2} perto de x=1.
Propriedades úteis:
  • Para todo x, (x-1)^{2}\ge 0 e (x-1)^{2}=0 exatamente quando x=1. Isso vem da propriedade dos quadrados: o quadrado de um número real nunca é negativo.
  • Assim o sinal de g(x) é determinado pelo sinal do fator x, porque (x-1)^{2} é sempre não-negativo.
Agora pense em uma vizinhança de 1. Uma vizinhança é um intervalo aberto que contenha 1, por exemplo (1-\delta,1+\delta) para algum \delta>0. Para que g seja não-negativa nessa vizinhança, basta garantir que x>0 nessa vizinhança, pois então x>0 e (x-1)^{2}\ge0 implicam g(x)\ge0.
Escolha prática (simples para a prova): tome \delta=\tfrac{1}{2}. Então a vizinhança é \bigl(\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}\bigr). Para todo x em \bigl(\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}\bigr) temos x>\tfrac{1}{2}>0. Logo, para esses x,
g(x)=x(x-1)^{2}\ge 0.
Além disso, em x=1 temos (x-1)^{2}=0, então g(1)=1\cdot 0=0. Portanto, dentro do intervalo \bigl(\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}\bigr) a função g é sempre maior ou igual a 0 e atinge o valor 0 em x=1.
Lembrando o que significa “menor valor que a função assume”: é o menor valor real que a função atinge nesse conjunto. Se uma função é sempre maior ou igual a 0 no intervalo e em algum ponto desse intervalo vale exatamente 0, então 0 é o menor valor e é atingido (ou seja, é um mínimo absoluto sobre esse intervalo).

Passo 4

Complemento: uma outra maneira (mais “calculus”) de ver que x=1 é um mínimo local — útil como reforço didático.
Calcule a derivada de g. Como g(x)=x^{3}-2x^{2}+x, temos
g'(x)=3x^{2}-4x+1.
Avalie em x=1:
g'(1)=3-4+1=0,
logo x=1 é um ponto crítico. Para classificar o ponto, usamos a segunda derivada:
g''(x)=6x-4,
e
g''(1)=6-4=2>0.
Quando a segunda derivada em um ponto crítico é positiva, isso indica que o ponto é um mínimo local. Portanto x=1 é um mínimo local de g e o valor g(1)=0 é o valor mínimo local — coerente com a análise por fatoração.
Didática sobre por que usei fatoração em vez de só derivada: fatoração nos dá imediatamente informação exata sobre o sinal e mostra que g(x)\ge0 em qualquer vizinhança onde x>0. A derivada é uma verificação alternativa e bem conhecida (teste da segunda derivada), mas exige cálculo. Na prova, se você perceber a fatoração, use-a — é mais rápido e robusto.

Resposta

Verdadeira.

Exercícios relacionados