Informações dadas (explicitadas para não nos perder):
g_1(x) = -x^{2}+2x+1{,}5
g_2(x) = x^{2}-2x-1
A função f em cada x vale o menor valor entre g_1(x) e g_2(x). O que precisamos é o maior valor que f(x) atinge quando variamos x\in\mathbb{R}.
Passo 2
Entendimento da estratégia (sem calcular ainda): para achar o máximo da função mínimo entre duas curvas, é útil saber onde as duas curvas se cruzam (porque ali elas têm o mesmo valor) e em quais intervalos cada uma é a menor. Então primeiro vamos achar os pontos de interseção resolvendo
g_1(x)=g_2(x).
Aqui vai uma pequena aula rápida sobre igualar duas funções quadráticas: subtraímos uma da outra e obtemos uma equação quadrática do tipo \,ax^{2}+bx+c=0, que resolvemos com a fórmula quadrática. A discriminante \Delta=b^{2}-4ac diz se há raízes reais e quais são.
Aplicando a fórmula quadrática x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} com a=2, b=-4, c=-2{,}5. O discriminante é
\Delta = (-4)^{2}-4\cdot 2\cdot(-2{,}5)=16+20=36.
Logo as raízes são
x=\dfrac{4\pm\sqrt{36}}{4}=\dfrac{4\pm 6}{4}.
Isto dá
x=-0{,}5\quad\text{e}\quad x=2{,}5.
Passo 4
Determinar em quais intervalos cada função é menor. Considere a função diferença
h(x)=g_1(x)-g_2(x)=-2x^{2}+4x+2{,}5.
Essa é uma parábola com coeficiente principal negativo (concavidade para baixo), então h(x)>0 entre as raízes e h(x)<0 fora das raízes. Como h tem raízes em -0{,}5 e 2{,}5, concluímos:
Para -0{,}5<x<2{,}5 temos h(x)>0\Rightarrow g_1(x)>g_2(x), então o mínimo é g_2(x).
Para x\le -0{,}5 e para x\ge 2{,}5 temos h(x)\le 0\Rightarrow g_1(x)\le g_2(x), então o mínimo é g_1(x).
Portanto f é a função “envelope inferior” dada por
Agora, para achar o máximo de f, examinamos os candidatos: máximos locais de cada ramo dentro de seu domínio de atuação e os pontos de junção -0{,}5 e 2{,}5. Dica prática: cada ramo é uma parábola simples:
g_1(x) é concava para baixo (coeficiente -1), tem vértice (máximo) em x=\dfrac{-b}{2a} com a=-1, b=2.
g_2(x) é côncava para cima (coeficiente 1), tem vértice (mínimo) em x=\dfrac{-b}{2a} com a=1, b=-2.
Regra simples: para uma parábola ax^{2}+bx+c, o vértice em x é x_v=\dfrac{-b}{2a} e o valor no vértice é a x_v^{2}+b x_v+c. Vou aplicar isso e lembrar que só importa o máximo dentro do intervalo onde esse ramo define f.
Passo 6
Calcular o vértice de g_1:
x_{v1}=\dfrac{-2}{2\cdot(-1)}=1.
Valor em x=1:
g_1(1)=-1+2+1{,}5=2{,}5.
Mas atenção: g_1 só é o valor de f fora do intervalo (-0{,}5,2{,}5). O vértice x=1 está dentro do intervalo [-0{,}5,2{,}5], portanto nesse x a função f vale g_2(1), não g_1(1). Então o máximo real de g_1 não é acessível por f nesse ponto. Assim, para g_1 o máximo que interessa ocorre nos pontos de fronteira x=-0{,}5 ou x=2{,}5 (pois para x\le -0{,}5 e x\ge 2{,}5 o ramo g_1 define f).
Passo 7
Avaliar os valores nas interseções (as fronteiras). Podemos calcular g_1(-0{,}5) e g_1(2{,}5); como nesses pontos as duas funções se igualam, dá o mesmo valor para g_2.
Analisar se existe algum x com f(x)>0{,}25. Já vimos que o maior valor de g_1 é 2{,}5 em x=1, mas em x=1 o valor de f é g_2(1). Calculemos g_2(1) apenas para confirmar:
g_2(1)=1-2-1=-2,
muito menor que 0{,}25. Para g_2 (que atua no intervalo [-0{,}5,2{,}5]), sendo côncava para cima, seu máximo no intervalo fechado ocorre nas extremidades, que já calculamos e deram 0{,}25. Fora do intervalo, f é dado por g_1 e seu maior valor dentro dessas regiões ocorre nas fronteiras x=-0{,}5 e x=2{,}5, que também dão 0{,}25. Assim não existe ponto com f(x)>0{,}25.
Portanto o valor máximo de f é \,0{,}25, atingido em x=-0{,}5 e x=2{,}5.