Considere a função: f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt{5 x^{6}+\left(x^{7}+2 x^{6}+x^{5}\right) \operatorname{cossec} x}}{x} \text { , se } x<0 \\\ x^{2} \cos \left(\frac{1}{x}\right), \text { se } 0<x<2 \\\ \ln (x-2), \text { se } x>2 \\\\ 0, \text { se } x=0 \text { ou } x=2\end{array}\right.
f é derivável em 2 ? Justifique.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • A função f é dada por partes:
    • \displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{5 x^{6}+\left(x^{7}+2 x^{6}+x^{5}\right)\operatorname{cossec}x}}{x}, se x<0.
    • \displaystyle f(x)=x^{2}\cos\!\left(\frac{1}{x}\right), se 0<x<2.
    • \displaystyle f(x)=\ln(x-2), se x>2.
    • \displaystyle f(0)=0 e \displaystyle f(2)=0.
  • A pergunta é: \;f é derivável em 2? Justifique.

Passo 2

Lembra da relação entre derivabilidade e continuidade (a teoria necessária).
  • Teorema útil: se uma função f é derivável em um ponto a, então f é necessariamente contínua em a.
  • Em palavras: derivabilidade em a implica que \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) existe e é igual a f(a).
  • Portanto, para mostrar que f não é derivável em 2 basta mostrar que f não é contínua em 2 (isto é, que \displaystyle \lim_{x\to2} f(x) não é igual a f(2) ou não existe finito).

Passo 3

Cálculo do limite pela esquerda \displaystyle \lim_{x\to 2^-} f(x).
  • Para 0<x<2 temos \displaystyle f(x)=x^{2}\cos\!\left(\frac{1}{x}\right).
  • As funções x\mapsto x^{2} e x\mapsto \cos\!\left(\frac{1}{x}\right) são contínuas em x=2 (note que \frac{1}{x} é contínua em 2 e \cos é contínua em qualquer ponto), então o produto é contínuo em 2.
  • Logo, \lim_{x\to 2^-} f(x) = \lim_{x\to 2^-} x^{2}\cos\!\left(\frac{1}{x}\right) = 2^{2}\cos\!\left(\frac{1}{2}\right) = 4\cos\!\left(\frac{1}{2}\right).
  • Observação: \cos\!\left(\tfrac{1}{2}\right)\neq 0, porque \cos t=0 somente quando t=\tfrac{\pi}{2}+k\pi e \tfrac{1}{2} não é dessa forma. Portanto 4\cos\!\left(\tfrac{1}{2}\right) é um número finito diferente de 0.

Passo 4

Cálculo do limite pela direita \displaystyle \lim_{x\to 2^+} f(x).
  • Para x>2 temos \displaystyle f(x)=\ln(x-2).
  • Seja t=x-2. Quando x\to 2^+ tem-se t\to 0^+. Sabe-se que \displaystyle \lim_{t\to 0^+}\ln t = -\infty.
  • Portanto \lim_{x\to 2^+} f(x) = \lim_{x\to 2^+} \ln(x-2) = -\infty,ou seja, o limite pela direita não é um número finito (diverge para -\infty).

Passo 5

Conclusão sobre continuidade e derivabilidade em 2.
  • Do Passo 3 obtivemos \displaystyle \lim_{x\to 2^-} f(x)=4\cos\!\left(\tfrac{1}{2}\right), um número finito diferente de 0.
  • Do Passo 4 obtivemos \displaystyle \lim_{x\to 2^+} f(x)=-\infty, não finito.
  • Como os limites lateral esquerdo e direito não coincidem (além disso o direito nem é finito), o limite \displaystyle \lim_{x\to 2} f(x) não existe como número finito; em particular f não é contínua em 2.
  • Pelo teorema do Passo 2, derivabilidade em 2 exigiria continuidade em 2. Como f não é contínua em 2, concluímos que f não é derivável em 2.

Resposta

Não, f não é derivável em 2.

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