Considere a função: f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt{5 x^{6}+\left(x^{7}+2 x^{6}+x^{5}\right) \operatorname{cossec} x}}{x} \text { , se } x<0 \\\ x^{2} \cos \left(\frac{1}{x}\right), \text { se } 0<x<2 \\\ \ln (x-2), \text { se } x>2 \\\\ 0, \text { se } x=0 \text { ou } x=2\end{array}\right.
f é derivável em 0 ? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} \dfrac{\sqrt{5 x^{6}+\bigl(x^{7}+2 x^{6}+x^{5}\bigr)\csc x}}{x}, & x<0,\\[6pt] x^{2}\cos\!\left(\dfrac{1}{x}\right), & 0<x<2,\\[4pt] \ln(x-2), & x>2,\\[4pt] 0, & x=0\text{ ou }x=2. \end{cases}
A pergunta é: f é derivável em 0? É preciso justificar.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Valor no ponto: f(0)=0.
  • Para x>0 pequeno: f(x)=x^{2}\cos(1/x).
  • Para x<0 pequeno: f(x)=\dfrac{\sqrt{5 x^{6}+(x^{7}+2x^{6}+x^{5})\csc x}}{x}.
  • Para testar derivabilidade em 0 vamos usar a definição de derivada em 0:
f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x},
o que exige que os limites laterais (direito e esquerdo) existam e sejam iguais.]

Passo 2

Lembrete rápido sobre método: vou calcular os limites laterais
\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)}{x}\quad\text{e}\quad \lim_{x\to0^-}\frac{f(x)}{x},
porque f'(0) existe sse esses dois limites existem e coincidem. Se eles forem diferentes, f não é derivável em 0. Também verificarei, brevemente, a continuidade em 0 (embora não seja suficiente para derivabilidade).

Passo 3

Cálculo do limite pela direita ( x\to0^+).
Para 0<x<2 vale f(x)=x^{2}\cos(1/x). Então
\frac{f(x)}{x}=x\cos\!\left(\frac{1}{x}\right).
A função \cos é limitada entre -1 e 1, logo
-\,x\le x\cos\!\left(\frac{1}{x}\right)\le x.
Como x\to0^+ ambos -x e x tendem a 0, pelo Teorema do Confronto (sandwich) segue que
\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)}{x}=0.
Portanto a derivada lateral direita (se existir a igual a essa) seria 0.

Passo 4

Preparação para o limite pela esquerda ( x\to0^-). Vamos manipular a expressão para x<0:
f(x)=\frac{\sqrt{5 x^{6}+\bigl(x^{7}+2x^{6}+x^{5}\bigr)\csc x}}{x}.
Observe que x^{7}+2x^{6}+x^{5}=x^{5}(x^{2}+2x+1)=x^{5}(x+1)^{2}. Assim o radicando pode ser escrito como
5x^{6}+(x^{7}+2x^{6}+x^{5})\csc x = x^{5}\Bigl((x+1)^{2}\csc x + 5x\Bigr).
Denotando
A(x):=5x^{6}+(x^{7}+2x^{6}+x^{5})\csc x = x^{5}\,B(x),\qquad B(x):=(x+1)^{2}\csc x + 5x,
temos
\frac{f(x)}{x}=\frac{\sqrt{A(x)}}{x^{2}}=\frac{\sqrt{x^{5}B(x)}}{x^{2}}.
Para tratar \sqrt{x^{5}} de forma segura, será útil fatorar para obter potências pares: observe que x^{5}B(x)=x^{4}\bigl(x B(x)\bigr), então
\sqrt{A(x)}=\sqrt{x^{4}\cdot (xB(x))}=|x^{2}|\sqrt{xB(x)}.
Como estamos no limite x\to0^{-}, temos |x^{2}|=x^{2}. Assim
\frac{f(x)}{x}=\frac{x^{2}\sqrt{xB(x)}}{x^{2}}=\sqrt{xB(x)}.
Portanto o problema de limite reduz-se a calcular \lim_{x\to0^-}\sqrt{xB(x)}.

Passo 5

Expansão assintótica de \csc x e de B(x).
Usamos desenvolvimento de Taylor de \sin x em torno de 0:
\sin x = x - \frac{x^{3}}{6} + o(x^{3})\quad (x\to0),
logo
\csc x = \frac{1}{\sin x} = \frac{1}{x}\cdot\frac{1}{1 - \frac{x^{2}}{6} + o(x^{2})} = \frac{1}{x}\Bigl(1 + \frac{x^{2}}{6} + o(x^{2})\Bigr).
Dessa forma
\csc x = \frac{1}{x} + \frac{x}{6} + o(x)\quad (x\to0).
Agora calculemos (x+1)^{2}\csc x. Expandindo:
(x+1)^{2}=(1+2x+x^{2}),
portanto
(x+1)^{2}\csc x=(1+2x+x^{2})\Bigl(\frac{1}{x}+\frac{x}{6}+o(x)\Bigr).
Multiplicando e recolhendo termos dominantes quando x\to0:
(x+1)^{2}\csc x = \frac{1}{x} + 2 + x + \frac{x}{6} + o(1) = \frac{1}{x} + 2 + \frac{7}{6}x + o(1).
Agora
B(x)=(x+1)^{2}\csc x + 5x = \frac{1}{x} + 2 + \Bigl(\frac{7}{6}x + 5x\Bigr) + o(1) = \frac{1}{x} + 2 + \frac{37}{6}x + o(1).

Passo 6

Avaliação de xB(x) e do limite de \sqrt{xB(x)}.
Multiplicando por x:
xB(x) = x\Bigl(\frac{1}{x} + 2 + \frac{37}{6}x + o(1)\Bigr) = 1 + 2x + \frac{37}{6}x^{2} + o(x).
Portanto, quando x\to0,
xB(x)=1+2x+o(x).
Tomando raiz quadrada:
\sqrt{xB(x)}=\sqrt{1+2x+o(x)}.
Usando a expansão \sqrt{1+u}=1+\tfrac{u}{2}+o(u) para u\to0 com u=2x+o(x), obtemos
\sqrt{xB(x)}=1+x+o(x).
Assim
\lim_{x\to0^-}\sqrt{xB(x)}=1.

Passo 7

Conclusão sobre os dois limites laterais e derivabilidade.
  • Pela direita encontramos em

Passo 8

\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)}{x}=0.
  • Pela esquerda, com o cálculo dos passos 4–6:
\lim_{x\to0^-}\frac{f(x)}{x}=1.
Os dois limites laterais não coincidem, logo o limite \lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x} não existe. Portanto f'(0) não existe e f não é derivável em 0.
Observação sobre continuidade (opcional): tanto pela direita f(x)=x^{2}\cos(1/x)\to0 quanto pela esquerda, da forma aproximada f(x)=x\sqrt{xB(x)}\sim x\cdot1\to0, logo f é contínua em 0 (porque f(0)=0 e os limites laterais do valor tendem a 0). Entretanto continuidade não basta para derivabilidade; aqui falta coincidência das derivadas laterais.

Resposta

Não. Pois \displaystyle\lim_{x\to0^-}\frac{f(x)}{x}=1 e \displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)}{x}=0, logo f'(0) não existe.

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