porque f'(0) existe sse esses dois limites existem e coincidem. Se eles forem diferentes, f não é derivável em 0. Também verificarei, brevemente, a continuidade em 0 (embora não seja suficiente para derivabilidade).
Passo 3
Cálculo do limite pela direita (x\to0^+).
Para 0<x<2 vale f(x)=x^{2}\cos(1/x). Então
\frac{f(x)}{x}=x\cos\!\left(\frac{1}{x}\right).
A função \cos é limitada entre -1 e 1, logo
-\,x\le x\cos\!\left(\frac{1}{x}\right)\le x.
Como x\to0^+ ambos -x e x tendem a 0, pelo Teorema do Confronto (sandwich) segue que
\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)}{x}=0.
Portanto a derivada lateral direita (se existir a igual a essa) seria 0.
Passo 4
Preparação para o limite pela esquerda (x\to0^-). Vamos manipular a expressão para x<0:
Usando a expansão \sqrt{1+u}=1+\tfrac{u}{2}+o(u) para u\to0 com u=2x+o(x), obtemos
\sqrt{xB(x)}=1+x+o(x).
Assim
\lim_{x\to0^-}\sqrt{xB(x)}=1.
Passo 7
Conclusão sobre os dois limites laterais e derivabilidade.
Pela direita encontramos em
Passo 8
\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)}{x}=0.
Pela esquerda, com o cálculo dos passos 4–6:
\lim_{x\to0^-}\frac{f(x)}{x}=1.
Os dois limites laterais não coincidem, logo o limite \lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x} não existe. Portanto f'(0) não existe e f não é derivável em 0.
Observação sobre continuidade (opcional): tanto pela direita f(x)=x^{2}\cos(1/x)\to0 quanto pela esquerda, da forma aproximada f(x)=x\sqrt{xB(x)}\sim x\cdot1\to0, logo f é contínua em 0 (porque f(0)=0 e os limites laterais do valor tendem a 0). Entretanto continuidade não basta para derivabilidade; aqui falta coincidência das derivadas laterais.
Resposta
Não. Pois \displaystyle\lim_{x\to0^-}\frac{f(x)}{x}=1 e \displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)}{x}=0, logo f'(0) não existe.