O volume de um cone circular reto é
, onde
é o raio da base e
é a altura.
Encontre a taxa de variação do volume em relação ao raio se a altura for mantida constante.
Encontre a taxa de variação do volume em relação ao raio se a altura for mantida constante.
Passo 1
O enunciado nos dá a fórmula do volume de um cone circular reto e pede uma taxa de variação quando a altura é mantida constante. Informações fornecidas:
- A fórmula do volume:
- As variáveis:
é o raio da base e é a altura. - Condição: a altura
é mantida constante. - Pedido: encontrar a taxa de variação do volume em relação ao raio, isto é, calcular
com constante.
Passo 2
Interpretação matemática do pedido: como
é constante, podemos ver
como função de
só, escrevendo
em forma que deixa explícito o fator constante:
Aqui
é uma constante em relação a
(porque
não varia).
Passo 3
Relembrando a regra que vamos usar (explicação didática): se temos uma função da forma
onde
é constante, a derivada em relação a
é
vezes a derivada de
:
Também usamos a regra da potência (power rule): para qualquer expoente real
,
No nosso caso
e
. Um exemplo simples para fixar:
.
Passo 4
Aplicando as regras ao nosso
: a constante é
e
. Logo
Passo 5
Calcule a derivada de
usando a regra da potência:
Substituindo em
:
Passo 6
Simplificando o produto:
Interpretação rápida: essa expressão diz que quando
é fixo, o volume aumenta com
de forma proporcional a
e a
. As unidades são unidades de volume por unidade de comprimento (por exemplo,
). Para
a taxa é
; para
a taxa é positiva, ou seja, aumentando o raio o volume aumenta.