O volume de um cone circular reto é V=\pi r^{2} h / 3, onde r é o raio da base e h é a altura.
Encontre a taxa de variação do volume em relação ao raio se a altura for mantida constante.

Passo 1

O enunciado nos dá a fórmula do volume de um cone circular reto e pede uma taxa de variação quando a altura é mantida constante. Informações fornecidas:
  • A fórmula do volume: V=\frac{\pi r^{2} h}{3}.
  • As variáveis: r é o raio da base e h é a altura.
  • Condição: a altura h é mantida constante.
  • Pedido: encontrar a taxa de variação do volume em relação ao raio, isto é, calcular \dfrac{dV}{dr} com h constante.

Passo 2

Interpretação matemática do pedido: como h é constante, podemos ver V como função de r só, escrevendo V em forma que deixa explícito o fator constante:
V(r)=\frac{\pi h}{3}\,r^{2}.
Aqui \dfrac{\pi h}{3} é uma constante em relação a r (porque h não varia).

Passo 3

Relembrando a regra que vamos usar (explicação didática): se temos uma função da forma \,k\cdot f(r)\, onde k é constante, a derivada em relação a r é k vezes a derivada de f(r):
\frac{d}{dr}\big(k\cdot f(r)\big)=k\cdot \frac{d}{dr}f(r).
Também usamos a regra da potência (power rule): para qualquer expoente real n,
\frac{d}{dr}\big(r^{n}\big)=n\,r^{n-1}.
No nosso caso f(r)=r^{2} e \dfrac{d}{dr}r^{2}=2r. Um exemplo simples para fixar: \dfrac{d}{dr}r^{3}=3r^{2}.

Passo 4

Aplicando as regras ao nosso V(r): a constante é k=\dfrac{\pi h}{3} e f(r)=r^{2}. Logo
\frac{dV}{dr}=\frac{\pi h}{3}\cdot\frac{d}{dr}\big(r^{2}\big).

Passo 5

Calcule a derivada de r^{2} usando a regra da potência:
\frac{d}{dr}\big(r^{2}\big)=2r.
Substituindo em \dfrac{dV}{dr}:
\frac{dV}{dr}=\frac{\pi h}{3}\cdot 2r.

Passo 6

Simplificando o produto:
\frac{dV}{dr}=\frac{2\pi h r}{3}.
Interpretação rápida: essa expressão diz que quando h é fixo, o volume aumenta com r de forma proporcional a r e a h. As unidades são unidades de volume por unidade de comprimento (por exemplo, \text{m}^3/\text{m}=\text{m}^2). Para r=0 a taxa é 0; para r>0 a taxa é positiva, ou seja, aumentando o raio o volume aumenta.

Resposta

\dfrac{dV}{dr}=\dfrac{2\pi h r}{3}

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