Calcule a derivada das seguintes funções; nos itens
calcule também a segunda derivada:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
- calcular a primeira derivada
; - calcular a segunda derivada
.
Informações importantes dadas:
- a função é uma composição de uma função polinomial interna
com a potência ; - não há restrições no domínio (é polinomial composto), então podemos derivar normalmente em todo
.
Passo 2
Explicação das regras que vamos usar (aula curta e prática).
- Regra da potência (caso simples): para
com constante, temos
- Regra da cadeia (quando há composição): se
, onde é diferenciável, então aplicamos a regra da potência ao “invólucro” e multiplicamos pela derivada do interior:
Aqui cada símbolo significa:
-
é a função interna (no nosso caso ); -
é o expoente (no nosso caso ); -
é a derivada da função interna, que precisamos calcular separadamente.
Vou aplicar essas regras passo a passo.
Passo 3
Calcular a derivada da função interna. Defino
Derivando termo a termo (regra da soma e derivada de potências):
Passo 4
Aplicar a regra da cadeia para obter
. Usando
,
Agora faço uma simplificação algébrica para ficar mais compacto: fatoro
e
. Assim
Essa forma é boa para usar em derivadas seguintes e é mais enxuta na prova.
Passo 5
Para a segunda derivada vamos usar a regra do produto (porque
já está escrita como produto de fatores). A regra do produto diz: se
então
Escolho decompor
de modo conveniente. Uma escolha simples é:
Observação:
e é equivalente à forma anterior; escolhi essa para derivar
facilmente.
Passo 6
Calcular
e
.
- Derivando
:
- Derivando
usando a regra da cadeia (lembrando ):
Passo 7
Aplicar a regra do produto para obter
:
Substituindo
:
Agora fatoro o fator comum mínimo
:
Posso simplificar a expressão dentro do colchete: primeiro noto que
e
. Então
Substituindo de volta,
Essa é uma forma fatorada e suficientemente simplificada para prova; pode-se expandir se necessário, mas a forma fatorada mostra bem a estrutura.
Passo 8
Breve revisão/ânimo: resumindo, usamos a regra da cadeia para a primeira derivada e depois produto + cadeia para a segunda. Se a prova pedir, memorize a forma fatorada de
porque facilita calcular
sem muita expansão desnecessária — e parabéns, você já tem as duas derivadas prontas!