Calcule a derivada das seguintes funções; nos itens \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c} calcule também a segunda derivada:
f(x)=\left(x^{4}+3 x^{2}-2\right)^{5}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\bigl(x^{4}+3x^{2}-2\bigr)^{5}
e pede:
  • calcular a primeira derivada f'(x);
  • calcular a segunda derivada f''(x).
Informações importantes dadas:
  • a função é uma composição de uma função polinomial interna x^{4}+3x^{2}-2 com a potência t\mapsto t^{5};
  • não há restrições no domínio (é polinomial composto), então podemos derivar normalmente em todo x.

Passo 2

Explicação das regras que vamos usar (aula curta e prática).
  • Regra da potência (caso simples): para h(x)=x^{n} com n constante, temos
h'(x)=n x^{n-1}.
  • Regra da cadeia (quando há composição): se f(x)=\bigl(g(x)\bigr)^{n}, onde g é diferenciável, então aplicamos a regra da potência ao “invólucro” e multiplicamos pela derivada do interior:
\frac{d}{dx}\bigl(g(x)^{n}\bigr)=n\,g(x)^{n-1}\,g'(x).
Aqui cada símbolo significa:
  • g(x) é a função interna (no nosso caso g(x)=x^{4}+3x^{2}-2);
  • n é o expoente (no nosso caso n=5);
  • g'(x) é a derivada da função interna, que precisamos calcular separadamente.
Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Calcular a derivada da função interna. Defino
u(x)=x^{4}+3x^{2}-2.
Derivando termo a termo (regra da soma e derivada de potências):
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}\bigr)-\frac{d}{dx}(2)=4x^{3}+6x+0=4x^{3}+6x.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia para obter f'(x). Usando f(x)=u(x)^{5},
f'(x)=5\,u(x)^{4}\,u'(x)=5\bigl(x^{4}+3x^{2}-2\bigr)^{4}\bigl(4x^{3}+6x\bigr).
Agora faço uma simplificação algébrica para ficar mais compacto: fatoro 4x^{3}+6x=2x(2x^{2}+3) e 5\cdot2x=10x. Assim
f'(x)=10x\bigl(2x^{2}+3\bigr)\bigl(x^{4}+3x^{2}-2\bigr)^{4}.
Essa forma é boa para usar em derivadas seguintes e é mais enxuta na prova.

Passo 5

Para a segunda derivada vamos usar a regra do produto (porque f'(x) já está escrita como produto de fatores). A regra do produto diz: se v(x)=p(x)q(x) então
v'(x)=p'(x)q(x)+p(x)q'(x).
Escolho decompor f'(x) de modo conveniente. Uma escolha simples é:
f'(x)=A(x)\,B(x), \qquad \text{onde }A(x)=20x^{3}+30x\quad\text{e}\quad B(x)=\bigl(x^{4}+3x^{2}-2\bigr)^{4}.
Observação: A(x)=5(4x^{3}+6x) e é equivalente à forma anterior; escolhi essa para derivar A facilmente.

Passo 6

Calcular A'(x) e B'(x).
  • Derivando A:
A'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(20x^{3}+30x\bigr)=60x^{2}+30.
  • Derivando B(x)=u(x)^{4} usando a regra da cadeia (lembrando u'(x)=4x^{3}+6x):
B'(x)=4\,u(x)^{3}\,u'(x)=4\bigl(x^{4}+3x^{2}-2\bigr)^{3}\bigl(4x^{3}+6x\bigr).

Passo 7

Aplicar a regra do produto para obter f''(x):
f''(x)=A'(x)B(x)+A(x)B'(x).
Substituindo A',A,B,B':
f''(x)=(60x^{2}+30)\bigl(x^{4}+3x^{2}-2\bigr)^{4}+(20x^{3}+30x)\cdot 4\bigl(x^{4}+3x^{2}-2\bigr)^{3}\bigl(4x^{3}+6x\bigr).
Agora fatoro o fator comum mínimo \bigl(x^{4}+3x^{2}-2\bigr)^{3}:
f''(x)=\bigl(x^{4}+3x^{2}-2\bigr)^{3}\Bigl[(60x^{2}+30)\bigl(x^{4}+3x^{2}-2\bigr)+ (20x^{3}+30x)\cdot 4\bigl(4x^{3}+6x\bigr)\Bigr].
Posso simplificar a expressão dentro do colchete: primeiro noto que 20x^{3}+30x=10x(2x^{2}+3) e 4x^{3}+6x=2x(2x^{2}+3). Então
(20x^{3}+30x)\cdot 4(4x^{3}+6x)=4\cdot\bigl(10x(2x^{2}+3)\bigr)\cdot\bigl(2x(2x^{2}+3)\bigr) =4\cdot 20x^{2}(2x^{2}+3)^{2}=80x^{2}(2x^{2}+3)^{2}.
Substituindo de volta,
f''(x)=\bigl(x^{4}+3x^{2}-2\bigr)^{3}\Bigl[(60x^{2}+30)\bigl(x^{4}+3x^{2}-2\bigr)+80x^{2}(2x^{2}+3)^{2}\Bigr].
Essa é uma forma fatorada e suficientemente simplificada para prova; pode-se expandir se necessário, mas a forma fatorada mostra bem a estrutura.

Passo 8

Breve revisão/ânimo: resumindo, usamos a regra da cadeia para a primeira derivada e depois produto + cadeia para a segunda. Se a prova pedir, memorize a forma fatorada de f'(x) porque facilita calcular f''(x) sem muita expansão desnecessária — e parabéns, você já tem as duas derivadas prontas!

Resposta

f'(x)=10x\bigl(2x^{2}+3\bigr)\bigl(x^{4}+3x^{2}-2\bigr)^{4}
f''(x)=\bigl(x^{4}+3x^{2}-2\bigr)^{3}\Bigl[(60x^{2}+30)\bigl(x^{4}+3x^{2}-2\bigr)+80x^{2}\bigl(2x^{2}+3\bigr)^{2}\Bigr]

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