- Considere a função
e responda o que se pede
(a) Qual o domínio e a imagem de
? Gabarito:
e
.
(b) A equação
possui solução? Justifique sua resposta. Gabarito: A equação
possui solução, por
.
(c)
é injetora? Justifique sua resposta. Gabarito: Não, notem que
.
(d) Quanto a simetria,
é par, ímpar ou nem par, nem ímpar. Justifique sua resposta. Gabarito:
é par.
(a) Qual o domínio e a imagem de
(b) A equação
(c)
(d) Quanto a simetria,
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
– (a) domínio e imagem de ,
– (b) existência de solução para ,
– (c) se é injetora,
– (d) verificação de paridade.
Para isso vamos usar propriedades de logaritmo, resolução de inequações e definições de injeção e simetria.
– (a) domínio e imagem de
– (b) existência de solução para
– (c) se
– (d) verificação de paridade.
Para isso vamos usar propriedades de logaritmo, resolução de inequações e definições de injeção e simetria.
Passo 2
Para o domínio de
precisamos que o argumento do logaritmo seja positivo:
isso equivale a
Logo
Passo 3
Na imagem, observamos que conforme
varia em
, o termo
assume todo valor em
pois o máximo ocorre em
e o mínimo tende a zero nas extremidades. Aplicando
:
Portanto
Passo 4
Para
basta ver que
, então há solução. Resolvendo explicitamente:
que estão no domínio. Logo a equação possui duas soluções.
Passo 5
Uma função é injetora se valores distintos de
dão imagens distintas. Aqui, por exemplo,
mas
. Logo
não é injetora.
Passo 6
Para verificar paridade, comparamos
e
:
Como
para todo
no domínio,
é uma função par.
Resposta
(a)
e
.
(b) Sim, pois (soluções
).
(c) Não, pois com
.
(d) é par.
(b) Sim, pois
(c) Não, pois
(d)