Faça o estudo do domínio das funções
f(x)=\sqrt{9.3^{2 x-1}-\frac{1}{27}}

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
f(x)=\sqrt{9\cdot 3^{2x-1}-\frac{1}{27}}
Aqui o conteúdo é domínio de função envolvendo raiz quadrada e exponencial. Para encontrar o domínio, precisamos garantir que o radicando seja não negativo:
9\cdot 3^{2x-1}-\frac{1}{27}\ge 0.

Passo 2

Chamemos o radicando de
g(x)=9\cdot 3^{2x-1}-\frac{1}{27}.
A condição de existência de f(x) é
g(x)\ge 0.

Passo 3

Vamos simplificar o termo exponencial:
9\cdot 3^{2x-1}=3^2\cdot 3^{2x-1}=3^{2+(2x-1)}=3^{2x+1}.
Logo a inequação fica
3^{2x+1}-\frac{1}{27}\ge 0.

Passo 4

Reescrevendo \tfrac{1}{27} como potência de base 3, temos
\frac{1}{27}=3^{-3},
então a inequação é
3^{2x+1}\ge 3^{-3}.
Como a função 3^t é crescente, podemos comparar os expoentes:
2x+1\ge -3.

Passo 5

Resolvendo a desigualdade nos expoentes:
2x+1\ge -3 \quad\Longrightarrow\quad 2x\ge -4 \quad\Longrightarrow\quad x\ge -2.

Resposta

O domínio de f é
[-2,\infty).

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