1. Considere a função f(x)=\log _{2}\left(4-x^{2}\right) e responda o que se pede
    (a) Qual o domínio e a imagem de f ? Gabarito: D_{f}=\{x \in \mathbb{R} \mid-2<x<2\} e I m_{f}=(-\infty, 2].
    (b) A equação f(x)=1 possui solução? Justifique sua resposta. Gabarito: A equação f(x)=1 possui solução, por 1 \in I m_{f}.
    (c) f é injetora? Justifique sua resposta. Gabarito: Não, notem que f(-1)=f(1).
    (d) Quanto a simetria, f é par, ímpar ou nem par, nem ímpar. Justifique sua resposta. Gabarito: f é par.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\log_{2}\bigl(4 - x^{2}\bigr)
e pede:
– (a) domínio e imagem de f,
– (b) existência de solução para f(x)=1,
– (c) se f é injetora,
– (d) verificação de paridade.
Para isso vamos usar propriedades de logaritmo, resolução de inequações e definições de injeção e simetria.

Passo 2

Para o domínio de f precisamos que o argumento do logaritmo seja positivo:
4 - x^{2} > 0
isso equivale a
-2 < x < 2.
Logo
D_{f} = \{\,x\in\mathbb{R}\mid -2<x<2\}.

Passo 3

Na imagem, observamos que conforme x varia em (-2,2), o termo 4 - x^{2} assume todo valor em
0 < 4 - x^{2} \le 4
pois o máximo ocorre em x=0 e o mínimo tende a zero nas extremidades. Aplicando \log_{2}:
\log_{2}(4-x^{2})\in(-\infty,\log_{2}4] = (-\infty,2].
Portanto
\mathrm{Im}_{f}=(-\infty,2].

Passo 4

Para f(x)=1 basta ver que 1\in(-\infty,2], então há solução. Resolvendo explicitamente:
\log_{2}(4 - x^{2}) = 1 \quad\Longrightarrow\quad 4 - x^{2} = 2 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} = 2 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm \sqrt{2},
que estão no domínio. Logo a equação possui duas soluções.

Passo 5

Uma função é injetora se valores distintos de x dão imagens distintas. Aqui, por exemplo,
f(1)=\log_{2}(4-1)=\log_{2}3 \quad\text{e}\quad f(-1)=\log_{2}(4-1)=\log_{2}3,
mas 1\neq -1. Logo f não é injetora.

Passo 6

Para verificar paridade, comparamos f(-x) e f(x):
f(-x)=\log_{2}\bigl(4 - (-x)^{2}\bigr) =\log_{2}(4 - x^{2}) =f(x).
Como f(-x)=f(x) para todo x no domínio, f é uma função par.

Resposta

(a) D_{f}=\{x\in\mathbb{R}\mid -2<x<2\} e \mathrm{Im}_{f}=(-\infty,2].
(b) Sim, pois 1\in\mathrm{Im}_{f} (soluções x=\pm\sqrt{2}).
(c) Não, pois f(1)=f(-1) com 1\neq -1.
(d) f é par.

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