Considere a função lucro total \mathbf{L T}=7 \mathbf{q}-3.500, para 0 \leq \mathbf{q} \leq \mathbf{2 . 0 0 0} unidades de determinado bem. Qual será a produção necessária para que ocorra RT = CT?

Passo 1

O enunciado dá a função lucro total \mathbf{L T}=7 \mathbf{q}-3.500 definida para 0 \leq \mathbf{q} \leq \mathbf{2{.}000}. A pergunta é: qual será a produção necessária para que ocorra \mathbf{R T}=\mathbf{C T}?\n
Informações relevantes fornecidas:
\mathbf{L T}( \mathbf{q} ) = 7\mathbf{q} - 3.500
domínio: 0 \leq \mathbf{q} \leq 2000.

Passo 2

Entendendo o que significa \mathbf{R T}=\mathbf{C T}. Por definição econômica básica:
\mathbf{L T} = \mathbf{R T} - \mathbf{C T},
ou seja, lucro total é receita total menos custo total. Portanto, ter \mathbf{R T}=\mathbf{C T} é exatamente o mesmo que ter \mathbf{L T}=0. Esse ponto é chamado de ponto de equilíbrio (break-even): nem lucro nem prejuízo.

Passo 3

Tradução da condição pedida para uma equação que podemos resolver: queremos \mathbf{L T}=0. Então substituímos na expressão dada:
7\mathbf{q}-3.500 = 0.
Agora precisamos resolver essa equação linear para \mathbf{q}.

Passo 4

Resolver a equação passo a passo (aqui te explico a técnica básica para equações lineares simples: isolar a variável multiplicando/dividindo ou somando/subtraindo termos):
7\mathbf{q}-3.500=0
Primeiro somamos 3{.}500 em ambos os lados para isolar o termo com \mathbf{q}:
7\mathbf{q} = 3.500.
Depois dividimos ambos os lados por 7 para obter \mathbf{q}:
\mathbf{q} = \frac{3.500}{7}.

Passo 5

Fazendo a conta de divisão sem calculadora (mostro o raciocínio): 3.500\div 7. Sabendo que 7\cdot 500 = 3.500, concluímos que
\mathbf{q} = 500.

Passo 6

Verificação rápida e interpretação: substituindo \mathbf{q}=500 na função lucro,
\mathbf{L T}(500)=7\cdot 500 - 3.500 = 3.500 - 3.500 = 0,
confirmando que realmente é o ponto em que \mathbf{R T}=\mathbf{C T}. Além disso, 500 está dentro do domínio dado 0 \leq \mathbf{q} \leq 2000, então é uma solução válida. Esse é o nível de produção de equilíbrio (break-even), ou seja, produzindo 500 unidades a firma não tem lucro nem prejuízo.

Resposta

500 unidades

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