Considere a função f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x, y)=x^{3}+3 x y^{2}-3 x. Pede-se:
a) Os pontos críticos de f.
b) Classifique, se possível, os pontos obtidos no item a) como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.

Passo 1

Enunciado e o que se pede (dados e perguntas claramente listados).
  • A função dada é f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por
f(x,y)=x^{3}+3x y^{2}-3x.
  • Pede-se:
    (a) Encontrar os pontos críticos de f.
    (b) Classificar cada ponto crítico obtido no item (a) como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela, quando possível.

Passo 2

O que é um ponto crítico e como achar (aula curta e prática).
  • Definição prática: um ponto (x_0,y_0) é ponto crítico quando o gradiente de f em (x_0,y_0) é o vetor nulo, isto é, quando ambas as derivadas parciais primeiras são zero:
\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=0,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=0.
  • Intuição: as derivadas parciais medem as taxas de variação de f nas direções dos eixos x e y. Se ambas são zero, f não muda, até primeira ordem, ao deslocar-se levemente em qualquer direção linear construída a partir desses eixos — candidato a máximo, mínimo ou sela.
Agora vamos calcular as derivadas parciais da função dada.

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais primeiras.
  • Derivada parcial em relação a x: derivar termo a termo, lembrando que y é tratado como constante. \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2},\qquad \frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x y^{2}\bigr)=3y^{2},\qquad \frac{\partial}{\partial x}(-3x)=-3.Portanto \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=3x^{2}+3y^{2}-3.
  • Derivada parcial em relação a y: derivar termo a termo, tratando x como constante. \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}\bigr)=0,\qquad \frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x y^{2}\bigr)=6xy,\qquad \frac{\partial}{\partial y}(-3x)=0.Portanto \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=6xy.

Passo 4

Resolver o sistema \nabla f=0 para achar os pontos críticos.
O sistema é
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=0,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0,
ou seja
3x^{2}+3y^{2}-3=0,\qquad 6xy=0.
Simplificando a primeira equação dividindo por 3,
x^{2}+y^{2}=1,
e simplificando a segunda dividindo por 6,
xy=0.
Agora resolver as duas condições simultâneas.
  • Caso 1: x=0. Então x^{2}+y^{2}=1 0+y^{2}=1 logo y^{2}=1. Assim y=1 ou y=-1. Pontos: (0,1) e (0,-1).
  • Caso 2: y=0. Então x^{2}+0=1 logo x^{2}=1. Assim x=1 ou x=-1. Pontos: (1,0) e (-1,0).
Não há outras possibilidades porque xy=0 força uma das coordenadas a zero. Portanto os pontos críticos são
(1,0),\quad (-1,0),\quad (0,1),\quad (0,-1).

Passo 5

Como classificar os pontos críticos? (teste pelo Hessiano — explicação didática)
  • Ideia rápida: usamos as segundas derivadas para ver a curvatura local da função; isso é análogo ao teste da segunda derivada para funções de uma variável.
  • Definição prática do Hessiano (matriz das segundas derivadas): H(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx}(x,y) & f_{xy}(x,y)\\[4pt] f_{yx}(x,y) & f_{yy}(x,y) \end{pmatrix},onde f_{xx}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}, f_{yy}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} e f_{xy}=f_{yx}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}.
  • Teste de classificação (caso bidimensional):
    • Calcular o determinante D(x,y)=\det H(x,y)=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}.
    • Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo relativo.
    • Se D>0 e f_{xx}<0 então máximo relativo.
    • Se D<0 então ponto de sela.
    • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Vamos calcular as segundas derivadas para a nossa função.]

Passo 6

Cálculo das segundas derivadas e do determinante do Hessiano.
  • Já tínhamos f_x(x,y)=3x^{2}+3y^{2}-3,\qquad f_y(x,y)=6xy.
  • Então f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{2}+3y^{2}-3\bigr)=6x,
f_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(6xy\bigr)=6x,
f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}+3y^{2}-3\bigr)=6y.
Nota: f_{xy}=f_{yx}=6y, como esperado pela igualdade das segundas derivadas mistas (função suficientemente suave).
  • O Hessiano é H(x,y)=\begin{pmatrix}6x & 6y\\[4pt]6y & 6x\end{pmatrix}.
  • O determinante é D(x,y)=\det H(x,y)= (6x)(6x)-(6y)^{2}=36x^{2}-36y^{2}=36\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr).]

Passo 7

Avaliar o Hessiano e classificar cada ponto crítico encontrado.
Vamos calcular f_{xx}, D em cada ponto e aplicar o teste:
  1. Em (1,0):
f_{xx}(1,0)=6\cdot 1=6,\qquad D(1,0)=36(1^{2}-0^{2})=36>0.
Como D>0 e f_{xx}>0, (1,0) é um mínimo relativo.
  1. Em (-1,0):
f_{xx}(-1,0)=6\cdot(-1)=-6,\qquad D(-1,0)=36((-1)^{2}-0^{2})=36>0.
Como D>0 e f_{xx}<0, (-1,0) é um máximo relativo.
  1. Em (0,1):
f_{xx}(0,1)=6\cdot 0=0,\qquad D(0,1)=36(0^{2}-1^{2})=36(-1)=-36<0.
Como D<0, (0,1) é um ponto de sela.
  1. Em (0,-1):
f_{xx}(0,-1)=6\cdot 0=0,\qquad D(0,-1)=36(0^{2}-(-1)^{2})=36(-1)=-36<0.
Como D<0, (0,-1) é um ponto de sela.

Resposta

(1,0) — mínimo relativo
(-1,0) — máximo relativo
(0,1) — ponto de sela
(0,-1) — ponto de sela

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