Considere a função
definida por
. Pede-se:
a) Os pontos críticos de
.
b) Classifique, se possível, os pontos obtidos no item a) como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
a) Os pontos críticos de
b) Classifique, se possível, os pontos obtidos no item a) como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
Passo 1
Enunciado e o que se pede (dados e perguntas claramente listados).
- A função dada é
definida por
- Pede-se:
(a) Encontrar os pontos críticos de.
(b) Classificar cada ponto crítico obtido no item (a) como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela, quando possível.
Passo 2
O que é um ponto crítico e como achar (aula curta e prática).
- Definição prática: um ponto
é ponto crítico quando o gradiente de em é o vetor nulo, isto é, quando ambas as derivadas parciais primeiras são zero:
- Intuição: as derivadas parciais medem as taxas de variação de
nas direções dos eixos e . Se ambas são zero, não muda, até primeira ordem, ao deslocar-se levemente em qualquer direção linear construída a partir desses eixos — candidato a máximo, mínimo ou sela.
Agora vamos calcular as derivadas parciais da função dada.
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais primeiras.
- Derivada parcial em relação a
: derivar termo a termo, lembrando que é tratado como constante. Portanto - Derivada parcial em relação a
: derivar termo a termo, tratando como constante. Portanto
Passo 4
Resolver o sistema
para achar os pontos críticos.
O sistema é
ou seja
Simplificando a primeira equação dividindo por
,
e simplificando a segunda dividindo por
,
Agora resolver as duas condições simultâneas.
- Caso 1:
. Então dá logo . Assim ou . Pontos: e . - Caso 2:
. Então logo . Assim ou . Pontos: e .
Não há outras possibilidades porque
força uma das coordenadas a zero. Portanto os pontos críticos são
Passo 5
Como classificar os pontos críticos? (teste pelo Hessiano — explicação didática)
- Ideia rápida: usamos as segundas derivadas para ver a curvatura local da função; isso é análogo ao teste da segunda derivada para funções de uma variável.
- Definição prática do Hessiano (matriz das segundas derivadas):
onde , e . - Teste de classificação (caso bidimensional):
- Calcular o determinante
. - Se
e então mínimo relativo. - Se
e então máximo relativo. - Se
então ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
- Calcular o determinante
Vamos calcular as segundas derivadas para a nossa função.]
Passo 6
Cálculo das segundas derivadas e do determinante do Hessiano.
- Já tínhamos
- Então
Nota:
, como esperado pela igualdade das segundas derivadas mistas (função suficientemente suave).
- O Hessiano é
- O determinante é
]
Passo 7
Avaliar o Hessiano e classificar cada ponto crítico encontrado.
Vamos calcular
,
em cada ponto e aplicar o teste:
- Em
:
Como
e
,
é um mínimo relativo.
- Em
:
Como
e
,
é um máximo relativo.
- Em
:
Como
,
é um ponto de sela.
- Em
:
Como
,
é um ponto de sela.