(1,5 ponto) Dada a função y=f(x)=1+\frac{5}{x^{2}-4}, pede-se:
(a) Determine o domínio da função.
(b) Identifique 0(\mathrm{~s}) ponto(s) de descontinuidade da função, caso exista(m) e justifique.
(c) Calcule os limites da função dada para x \rightarrow-\infty e para x \rightarrow \infty.
(d) Escreva a(s) equação(ões) da(s) assíntota(s) horizontal(is) da função.
(e) Calcule os limites laterais que forem necessários.
(f) Escreva a(s) equação(ões) da(s) assíntota(s) vertical(is) da função.
(g) Faça um esboço do gráfico da função e apresente os resultados encontrados anteriormente.
(h) Determine a imagem da função.

Passo 1

O enunciado dá a função y=f(x)=1+\dfrac{5}{x^{2}-4} e pede as seguintes coisas:
(a) determinar o domínio da função;
(b) identificar ponto(s) de descontinuidade, se existirem, e justificar;
(c) calcular \lim_{x\to-\infty}f(x) e \lim_{x\to\infty}f(x);
(d) escrever a(s) equação(ões) da(s) assíntota(s) horizontal(is);
(e) calcular os limites laterais que forem necessários;
(f) escrever a(s) equação(ões) da(s) assíntota(s) vertical(is);
(g) fazer um esboço (descrição) do gráfico e apresentar os resultados obtidos;
(h) determinar a imagem (conjunto de valores assumidos por f).
As informações dadas e que usamos: a expressão explícita \;f(x)=1+\dfrac{5}{x^{2}-4}\; (portanto há um denominador que pode anular-se) e os pedidos acima.

Passo 2

Determinar o domínio.
A função está definida sempre que o denominador x^{2}-4 for diferente de zero. Então resolvemos
x^{2}-4=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=4 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm 2.
Logo os valores x=\pm 2 fazem o denominador zero e devem ser excluídos do domínio. Portanto o domínio é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq -2,\; x\neq 2\} = \mathbb{R}\setminus\{\pm2\}.

Passo 3

Identificar pontos de descontinuidade (qual tipo).
Os únicos candidatos são x=-2 e x=2 (pontos excluídos do domínio). Para classificar o tipo de descontinuidade olhamos os limites laterais em cada um desses pontos: se algum limite lateral divergir para \pm\infty teremos descontinuidade do tipo infinita (assíntota vertical).

Passo 4

Cálculo dos limites laterais em x=2. Fazer análise do sinal do denominador perto de 2. Escrevemos x^{2}-4=(x-2)(x+2). Perto de x=2 tem-se x+2\approx 4>0, então o sinal do denominador é o mesmo do fator x-2.
  • Para x\to 2^{+} tem x-2>0 pequeno, então x^{2}-4>0 pequeno e \dfrac{5}{x^{2}-4}\to +\infty. Assim
\lim_{x\to 2^{+}} f(x)=+\infty.
  • Para x\to 2^{-} tem x-2<0 pequeno, então x^{2}-4<0 pequeno e \dfrac{5}{x^{2}-4}\to -\infty. Assim
\lim_{x\to 2^{-}} f(x)=-\infty.
Conclusão: em x=2 os limites laterais divergem com sinais opostos, portanto x=2 é uma descontinuidade infinita (assíntota vertical).

Passo 5

Cálculo dos limites laterais em x=-2. Perto de x=-2 usamos x^{2}-4=(x+2)(x-2). Agora x-2\approx -4<0 perto de -2, então o sinal do denominador é o contrário do sinal de x+2.
  • Para x\to -2^{-} (à esquerda de -2) temos x+2<0 pequeno e x-2<0, produto positivo pequeno; assim x^{2}-4>0 pequeno e \dfrac{5}{x^{2}-4}\to +\infty. Logo
\lim_{x\to -2^{-}} f(x)=+\infty.
  • Para x\to -2^{+} (à direita de -2) temos x+2>0 pequeno e x-2<0, produto negativo pequeno; assim x^{2}-4<0 pequeno e \dfrac{5}{x^{2}-4}\to -\infty. Logo
\lim_{x\to -2^{+}} f(x)=-\infty.
Conclusão: em x=-2 também há descontinuidade infinita (assíntota vertical), com sinais opostos dos limites laterais.

Passo 6

Limites quando x\to\pm\infty e assíntota(s) horizontal(is).
Para x grande em módulo a parte \dfrac{5}{x^{2}-4} tende a zero porque o denominador cresce como x^{2}. Formalmente,
\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{5}{x^{2}-4}=0,
então
\lim_{x\to -\infty} f(x)=1,\qquad \lim_{x\to \infty} f(x)=1.
Como ambos os limites no infinito são iguais a 1, a função tem uma assíntota horizontal dada por
y=1.

Passo 7

Resumo das assíntotas verticais. Pelos limites laterais calculados:
x=-2\quad\text{e}\quad x=2
são assíntotas verticais (linhas verticais onde a função diverge).

Passo 8

Análise do sinal e comportamento dos ramos (útil para o esboço). Observe o termo \dfrac{5}{x^{2}-4}:
  • Se |x|>2 então x^{2}-4>0 e \dfrac{5}{x^{2}-4}>0, portanto f(x)>1 para x<-2 e para x>2. Nessas regiões a função vem de 1 quando |x|\to\infty e diverge para +\infty ao se aproximar de \pm2 pelos lados externos.
  • Se -2<x<2 então x^{2}-4<0 e \dfrac{5}{x^{2}-4}<0, portanto f(x)<1 entre -2 e 2. Nessa região a função tende para -\infty quando x\to -2^{+} ou x\to 2^{-}.
Como exemplo numérico, f(0)=1+\dfrac{5}{-4}=1-\tfrac{5}{4}=-\tfrac{1}{4}, portanto a função atinge -\tfrac{1}{4} no ponto x=0.

Passo 9

Encontrar extremos em (-2,2) para determinar a imagem nessa região (derivada e máximo).
Derivada de f:
f(x)=1+\dfrac{5}{x^{2}-4}\quad\Rightarrow\quad f'(x) = 5\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}-4\bigr)^{-1} = 5\cdot\bigl(-1\bigr)\frac{2x}{(x^{2}-4)^{2}} = -\dfrac{10x}{(x^{2}-4)^{2}}.
Zeramos a derivada:
f'(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad -\dfrac{10x}{(x^{2}-4)^{2}}=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0.
Analisando o sinal de f': para x<0 tem-se f'>0 (função crescente) e para x>0 tem-se f'<0 (função decrescente). Logo x=0 é um máximo local (e, como os limites nos extremos do intervalo (-2,2) são -\infty, esse é o máximo global em (-2,2)). O valor é
f(0) = -\tfrac{1}{4}.
Assim, sobre o intervalo (-2,2) a função assume todos os valores de -\infty até -\tfrac{1}{4}\], isto é o conjunto \((-\infty,-\tfrac{1}{4}].)

Passo 10

Unir as imagens dos três ramos para obter a imagem total da função.
  • Para x\in(-\infty,-2) o intervalo de valores é (1,\infty) (pois em -\infty a função tende a 1^{+} e em -2^{-} tende a +\infty).
  • Para x\in(-2,2) o intervalo de valores é (-\infty,-\tfrac{1}{4}].
  • Para x\in(2,\infty) o intervalo de valores é (1,\infty) (mesmo que o ramo à esquerda).
Portanto a imagem (conjunto-contradomínio atingido) é
(-\infty,-\tfrac{1}{4}] \;\cup\; (1,\infty).

Passo 11

Descrição do esboço do gráfico (resumo para desenhar à mão):
  • Há duas assíntotas verticais em x=-2 e x=2. A assíntota horizontal é y=1.
  • Para x<-2: ramo acima de y=1, decresce de +\infty quando x\to -2^{-} para aproximar-se assintoticamente de y=1 quando x\to -\infty.
  • Para -2<x<2: ramo está abaixo de y=1, tende a -\infty quando x\to -2^{+} e quando x\to 2^{-}; tem um máximo em x=0 com f(0)=-\tfrac{1}{4}.
  • Para x>2: ramo acima de y=1, diverge para +\infty quando x\to 2^{+} e aproxima-se de y=1 quando x\to\infty.
  • Pontos auxiliares a plotar: f(0)=-\tfrac{1}{4}; por exemplo f(3)=1+\dfrac{5}{9-4}=1+\dfrac{5}{5}=2 (um ponto no ramo direito).

Resposta

(a) \mathbb{R}\setminus\{\pm2\}
(b) Pontos de descontinuidade: x=-2 e x=2; descontinuidades infinitas (assíntotas verticais).
(c) \displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x)=1,\qquad \lim_{x\to \infty} f(x)=1.
(d) Assíntota horizontal: y=1.
(e) Limites laterais relevantes: \displaystyle \lim_{x\to 2^{+}} f(x)=+\infty,\quad \lim_{x\to 2^{-}} f(x)=-\infty,\quad \lim_{x\to -2^{+}} f(x)=-\infty,\quad \lim_{x\to -2^{-}} f(x)=+\infty.
(f) Assíntotas verticais: x=-2 e x=2.
(g) Esboço (descrição): três ramos — para x<-2 ramo acima de y=1 que vai de 1^{+} (em -\infty) a +\infty (em -2^{-}); para -2<x<2 ramo abaixo de y=1 com máximo em x=0 igual a -\tfrac{1}{4} e divergência para -\infty perto de \pm2; para x>2 ramo acima de y=1 que vai de +\infty (em 2^{+}) a 1^{+} (em +\infty).
(h) Imagem: (-\infty,-\tfrac{1}{4}] \cup (1,\infty).

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