(1,5 ponto) Dada a função
, pede-se:
(a) Determine o domínio da função.
(b) Identifique
ponto(s) de descontinuidade da função, caso exista(m) e justifique.
(c) Calcule os limites da função dada para
e para
.
(d) Escreva a(s) equação(ões) da(s) assíntota(s) horizontal(is) da função.
(e) Calcule os limites laterais que forem necessários.
(f) Escreva a(s) equação(ões) da(s) assíntota(s) vertical(is) da função.
(g) Faça um esboço do gráfico da função e apresente os resultados encontrados anteriormente.
(h) Determine a imagem da função.
(a) Determine o domínio da função.
(b) Identifique
(c) Calcule os limites da função dada para
(d) Escreva a(s) equação(ões) da(s) assíntota(s) horizontal(is) da função.
(e) Calcule os limites laterais que forem necessários.
(f) Escreva a(s) equação(ões) da(s) assíntota(s) vertical(is) da função.
(g) Faça um esboço do gráfico da função e apresente os resultados encontrados anteriormente.
(h) Determine a imagem da função.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as seguintes coisas:
(a) determinar o domínio da função;
(b) identificar ponto(s) de descontinuidade, se existirem, e justificar;
(c) calcular e
;
(d) escrever a(s) equação(ões) da(s) assíntota(s) horizontal(is);
(e) calcular os limites laterais que forem necessários;
(f) escrever a(s) equação(ões) da(s) assíntota(s) vertical(is);
(g) fazer um esboço (descrição) do gráfico e apresentar os resultados obtidos;
(h) determinar a imagem (conjunto de valores assumidos por ).
(a) determinar o domínio da função;
(b) identificar ponto(s) de descontinuidade, se existirem, e justificar;
(c) calcular
(d) escrever a(s) equação(ões) da(s) assíntota(s) horizontal(is);
(e) calcular os limites laterais que forem necessários;
(f) escrever a(s) equação(ões) da(s) assíntota(s) vertical(is);
(g) fazer um esboço (descrição) do gráfico e apresentar os resultados obtidos;
(h) determinar a imagem (conjunto de valores assumidos por
As informações dadas e que usamos: a expressão explícita
(portanto há um denominador que pode anular-se) e os pedidos acima.
Passo 2
Determinar o domínio.
A função está definida sempre que o denominador for diferente de zero. Então resolvemos
A função está definida sempre que o denominador
Logo os valores
fazem o denominador zero e devem ser excluídos do domínio. Portanto o domínio é
Passo 3
Identificar pontos de descontinuidade (qual tipo).
Os únicos candidatos são e
(pontos excluídos do domínio). Para classificar o tipo de descontinuidade olhamos os limites laterais em cada um desses pontos: se algum limite lateral divergir para
teremos descontinuidade do tipo infinita (assíntota vertical).
Os únicos candidatos são
Passo 4
Cálculo dos limites laterais em
. Fazer análise do sinal do denominador perto de
. Escrevemos
. Perto de
tem-se
, então o sinal do denominador é o mesmo do fator
.
- Para
tem pequeno, então pequeno e . Assim
- Para
tem pequeno, então pequeno e . Assim
Conclusão: em
os limites laterais divergem com sinais opostos, portanto
é uma descontinuidade infinita (assíntota vertical).
Passo 5
Cálculo dos limites laterais em
. Perto de
usamos
. Agora
perto de
, então o sinal do denominador é o contrário do sinal de
.
- Para
(à esquerda de ) temos pequeno e , produto positivo pequeno; assim pequeno e . Logo
- Para
(à direita de ) temos pequeno e , produto negativo pequeno; assim pequeno e . Logo
Conclusão: em
também há descontinuidade infinita (assíntota vertical), com sinais opostos dos limites laterais.
Passo 6
Limites quando
e assíntota(s) horizontal(is).
Para grande em módulo a parte
tende a zero porque o denominador cresce como
. Formalmente,
Para
então
Como ambos os limites no infinito são iguais a
, a função tem uma assíntota horizontal dada por
Passo 7
Resumo das assíntotas verticais. Pelos limites laterais calculados:
são assíntotas verticais (linhas verticais onde a função diverge).
Passo 8
Análise do sinal e comportamento dos ramos (útil para o esboço). Observe o termo
:
- Se
então e , portanto para e para . Nessas regiões a função vem de quando e diverge para ao se aproximar de pelos lados externos. - Se
então e , portanto entre e . Nessa região a função tende para quando ou .
Como exemplo numérico,
, portanto a função atinge
no ponto
.
Passo 9
Encontrar extremos em
para determinar a imagem nessa região (derivada e máximo).
Derivada de :
Derivada de
Zeramos a derivada:
Analisando o sinal de
: para
tem-se
(função crescente) e para
tem-se
(função decrescente). Logo
é um máximo local (e, como os limites nos extremos do intervalo
são
, esse é o máximo global em
). O valor é
Assim, sobre o intervalo
a função assume todos os valores de
até
.)
Passo 10
Unir as imagens dos três ramos para obter a imagem total da função.
- Para
o intervalo de valores é (pois em a função tende a e em tende a ). - Para
o intervalo de valores é . - Para
o intervalo de valores é (mesmo que o ramo à esquerda).
Portanto a imagem (conjunto-contradomínio atingido) é
Passo 11
Descrição do esboço do gráfico (resumo para desenhar à mão):
- Há duas assíntotas verticais em
e . A assíntota horizontal é . - Para
: ramo acima de , decresce de quando para aproximar-se assintoticamente de quando . - Para
: ramo está abaixo de , tende a quando e quando ; tem um máximo em com . - Para
: ramo acima de , diverge para quando e aproxima-se de quando . - Pontos auxiliares a plotar:
; por exemplo (um ponto no ramo direito).
Resposta
(a)
(b) Pontos de descontinuidade: e
; descontinuidades infinitas (assíntotas verticais).
(c)
(d) Assíntota horizontal: .
(e) Limites laterais relevantes:
(f) Assíntotas verticais: e
.
(g) Esboço (descrição): três ramos — para ramo acima de
que vai de
(em
) a
(em
); para
ramo abaixo de
com máximo em
igual a
e divergência para
perto de
; para
ramo acima de
que vai de
(em
) a
(em
).
(h) Imagem: .
(b) Pontos de descontinuidade:
(c)
(d) Assíntota horizontal:
(e) Limites laterais relevantes:
(f) Assíntotas verticais:
(g) Esboço (descrição): três ramos — para
(h) Imagem: