Considere a função g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} tal que g(x)=9-x^{2}.
a) Coloque em ordem crescente os números g(\sqrt{2}), g(\sqrt{5}) e g(\sqrt{10}).
b) Determine todos os possíveis valores de x do domínio que têm imagem igual a 8 .
c) Existe algum x \in \mathbb{R} cuja imagem é igual a 10 ? Por que?

Passo 1

O enunciado define a função
g\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R},\quad g(x)=9 - x^2.
Precisamos (a) comparar g(\sqrt{2}),\,g(\sqrt{5}),\,g(\sqrt{10}), (b) resolver g(x)=8 e (c) verificar se existe solução real para g(x)=10.

Passo 2

Para avaliar g(\sqrt{2}), g(\sqrt{5}) e g(\sqrt{10}), usamos diretamente g(x)=9 - x^2:
g(\sqrt{2}) = 9 - (\sqrt{2})^2 = 9 - 2 = 7,
g(\sqrt{5}) = 9 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4,
g(\sqrt{10}) = 9 - (\sqrt{10})^2 = 9 - 10 = -1.

Passo 3

Comparando os valores obtidos, temos
-1 < 4 < 7,
ou seja, em ordem crescente:
g(\sqrt{10}) < g(\sqrt{5}) < g(\sqrt{2}).

Passo 4

Para encontrar x tais que g(x)=8, resolvemos
9 - x^2 = 8
o que leva a
x^2 = 1
e, portanto,
x = \pm 1.

Passo 5

Para g(x)=10 teríamos
9 - x^2 = 10 \quad\Longrightarrow\quad x^2 = -1.
Como não existe x\in\mathbb{R} com x^2<0, não há solução real.

Resposta

(a) Em ordem crescente: g(\sqrt{10}) < g(\sqrt{5}) < g(\sqrt{2}).
(b) As soluções são x = -1 e x = 1.
(c) Não existe x\in\mathbb{R} com g(x)=10, pois isso exigiria x^2=-1, impossível em \mathbb{R}.

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