Considere a função .
Mostre que é diferenciável no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a função é diferenciável no ponto . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo de Funções de Várias Variáveis, mais especificamente sobre diferenciabilidade. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e no ponto dado e verificar se a função se comporta de maneira linear perto desse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Para :
Para partial hpartial y :
partial hpartial y g|(-2, 0) = -0raiz(-2)^2+0^2 = 0
Então, temos que as derivadas parciais no ponto (-2, 0) são 1 em relação a x e 0 em relação a y .
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função é contínua no ponto (-2, 0). A função h(x, y) = -raizx^2+y^2 é contínua em todo lugar onde o radical está definido, ou seja, para todo (x, y). No nosso caso, como (-2, 0) está dentro do domínio da função, sabemos que h é contínua nesse ponto.
Passo 4
Com as derivadas parciais calculadas e a continuidade verificada, podemos concluir que h é diferenciável no ponto (-2, 0). Isso porque as derivadas parciais existem e são contínuas nesse ponto, o que garante a diferenciabilidade.
Resposta
A função h(x, y) = -raizx^2+y^2 é diferenciável no ponto (-2, 0).