Considere a função h(x, y)=-raizx^2+y^2.
Mostre que h é diferenciável no ponto (-2,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a função h(x, y) = -raizx^2+y^2 é diferenciável no ponto (-2, 0). Isso está dentro do conteúdo de Cálculo de Funções de Várias Variáveis, mais especificamente sobre diferenciabilidade. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de h em relação a x e y no ponto dado e verificar se a função se comporta de maneira linear perto desse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de h em relação a x e y .
A derivada parcial de h em relação a x é:
partial hpartial x = -xraizx^2+y^2
E a derivada parcial de h em relação a y é:
partial hpartial y = -yraizx^2+y^2
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto (-2, 0):
Para partial hpartial x :
partial hpartial x g|(-2, 0) = --2raiz(-2)^2+0^2 = --22 = 1
Para partial hpartial y :
partial hpartial y g|(-2, 0) = -0raiz(-2)^2+0^2 = 0
Então, temos que as derivadas parciais no ponto (-2, 0) são 1 em relação a x e 0 em relação a y .

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função é contínua no ponto (-2, 0). A função h(x, y) = -raizx^2+y^2 é contínua em todo lugar onde o radical está definido, ou seja, para todo (x, y). No nosso caso, como (-2, 0) está dentro do domínio da função, sabemos que h é contínua nesse ponto.

Passo 4

Com as derivadas parciais calculadas e a continuidade verificada, podemos concluir que h é diferenciável no ponto (-2, 0). Isso porque as derivadas parciais existem e são contínuas nesse ponto, o que garante a diferenciabilidade.

Resposta

A função h(x, y) = -raizx^2+y^2 é diferenciável no ponto (-2, 0).

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