Sejam e números reais . Encontre uma série de potências cujo intervalo de convergência seja
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado pede quatro exemplos de séries de potências em cujo intervalo de convergência seja exatamente cada um dos seguintes casos:
(a)
(b)
(c)
(d)
O conteúdo fundamental é a teoria de séries de potências, em particular que o intervalo de convergência de
é sempre um intervalo centralizado em de raio , e que a convergência nos extremos pode ser manipulada por fator .
Passo 2
Escolhemos o centro e o raio que cubram exatamente quando não se includem extremos:
Assim o intervalo é exatamente , e nos pontos temos .
Passo 3
Para produzir convergência apenas em sem incluir nenhum extremo, usamos a série geométrica padrão:
Pelo teste da razão, converge iff , isto é p<x<q, e nos extremos l|tfracx-cRr|=1 cada termo tem módulo 1 e não tende a zero, logo diverge.
Passo 4
Para obter intervalo (p,q], queremos divergir em x=p e convergir em x=q. Considere
sumn=1^infty (-1)^n,1n,gl(x-cRgr)^n
Se x=q, então tfracx-cR=1 e a série vira sum(-1)^n/n, convergente (série harmônica alternada).
Se x=p, então tfracx-cR=-1 e a série vira sum1/n, divergente.
No interior |(x-c)/R|<1 converge absolutamente.
Passo 5
Para obter intervalo [p,q), queremos convergir em x=p e divergir em x=q. Use
sumn=1^infty 1n,gl(x-cRgr)^n
Se x=q, tfracx-cR=1 e a série é sum1/n, que diverge.
Se x=p, tfracx-cR=-1 e a série é sum(-1)^n/n, que converge.
No interior converge absolutamente.
Passo 6
Para obter intervalo [p,q], queremos convergir em ambos os extremos. Uma escolha simples é
sumn=1^infty 1n^2,gl(x-cRgr)^n
Em x=q ou x=p temos tfracx-cR=pm1 e a série torna-se sum1/n^2, que converge. No interior converge absolutamente.