Sejam p e q números reais com p<q. Encontre uma série de potências cujo intervalo de convergência seja
(a) (p, q)
(b) (p, q]
(c) [p, q)
(d) [p, q]

Passo 1

O enunciado pede quatro exemplos de séries de potências em x cujo intervalo de convergência seja exatamente cada um dos seguintes casos:
(a) (p,q)
(b) (p,q]
(c) [p,q)
(d) [p,q]
O conteúdo fundamental é a teoria de séries de potências, em particular que o intervalo de convergência de
sumn=0^infty an,(x-c)^n
é sempre um intervalo centralizado em c de raio R, e que a convergência nos extremos x=cpm R pode ser manipulada por fator an.

Passo 2

Escolhemos o centro e o raio que cubram exatamente (p,q) quando não se includem extremos:
c = p+q2, R = q-p2
Assim o intervalo xmid |x-c|<R é exatamente (p,q), e nos pontos x=cpm R temos |x-c|=R.

Passo 3

Para produzir convergência apenas em (p,q) sem incluir nenhum extremo, usamos a série geométrica padrão:
sumn=0^infty gl(x-cRgr)^n
Pelo teste da razão, converge iff l|tfracx-cRr|<1, isto é p<x<q, e nos extremos l|tfracx-cRr|=1 cada termo tem módulo 1 e não tende a zero, logo diverge.

Passo 4

Para obter intervalo (p,q], queremos divergir em x=p e convergir em x=q. Considere
sumn=1^infty (-1)^n,1n,gl(x-cRgr)^n
  • Se x=q, então tfracx-cR=1 e a série vira sum(-1)^n/n, convergente (série harmônica alternada).
  • Se x=p, então tfracx-cR=-1 e a série vira sum1/n, divergente.
    No interior |(x-c)/R|<1 converge absolutamente.

Passo 5

Para obter intervalo [p,q), queremos convergir em x=p e divergir em x=q. Use
sumn=1^infty 1n,gl(x-cRgr)^n
  • Se x=q, tfracx-cR=1 e a série é sum1/n, que diverge.
  • Se x=p, tfracx-cR=-1 e a série é sum(-1)^n/n, que converge.
    No interior converge absolutamente.

Passo 6

Para obter intervalo [p,q], queremos convergir em ambos os extremos. Uma escolha simples é
sumn=1^infty 1n^2,gl(x-cRgr)^n
Em x=q ou x=p temos tfracx-cR=pm1 e a série torna-se sum1/n^2, que converge. No interior converge absolutamente.

Resposta

(a) sumn=0^infty l(tfracx-p+q2q-p2r)^n
(b) sumn=1^infty (-1)^n,1n,l(tfracx-p+q2q-p2r)^n
(c) sumn=1^infty 1n,l(tfracx-p+q2q-p2r)^n
(d) sumn=1^infty 1n^2,l(tfracx-p+q2q-p2r)^n

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