Determine a equação do plano tangente ao gráfico de
f(x, y)=cos ^2(2 x)+2 sen(y^2)+3 y no ponto (pi2,-pi, f(pi2,-pi)).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície definida por
z = f(x,y) = cos^2(2x) + 2sinl(y^2r) + 3y
no ponto l(x0,y0,z0r)=l(tfracpi2,- pi,,f(tfracpi2,- pi)r).
Para isso, vamos calcular as derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y, avaliá-las no ponto, achar z0 e usar a fórmula do plano tangente
z - z0 = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)

Passo 2

Aplicando regra da cadeia para as derivadas parciais, temos
fx(x,y) = partialpartial xl[cos^2(2x)r] = 2cos(2x)cdotl(-sin(2x)r)cdot 2 = -4cos(2x),sin(2x),
fy(x,y) = partialpartial yl[2sin(y^2) + 3yr] = 2cdotcos(y^2)cdot 2y + 3 = 4ycosl(y^2r) + 3

Passo 3

Agora avaliamos em l(x0,y0r)=(tfracpi2,- pi):
fxl(tfracpi2,- pir) = -4cos(pi),sin(pi) = -4cdot(-1)cdot 0 = 0,
fyl(tfracpi2,- pir) = 4(-pi)cosl(pi^2r) + 3 = -4pi,cosl(pi^2r) + 3

Passo 4

Calculamos z0 = f(tfracpi2,- pi):
z0 = cos^2l(2cdottfracpi2r) + 2sinl((-pi)^2r) + 3(-pi) = cos^2(pi) + 2sin(pi^2) - 3pi = 1 + 2sin(pi^2) - 3pi

Passo 5

Substituindo na fórmula do plano tangente,
Como o coeficiente de é zero, fica

Resposta

z - l(1 + 2sin(pi^2) - 3pir) = l(-4picos(pi^2) + 3r),(y + pi)

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