Considere a função
.
a) Mostre que
possui um único zero no intervalo
.
b) Ache aproximadamente o valor do zero de
no intervalo
com precisão d
(caso precise, use como aproximação inicial
). Utiliz nas contas quatro casas decimais.
a) Mostre que
b) Ache aproximadamente o valor do zero de
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Mostrar que a função
possui um único zero no intervalo . - (b) Encontrar aproximadamente esse zero no intervalo
com precisão . Foi sugerido usar se necessário. Pedir-se-á usar quatro casas decimais nas contas.
Informações fornecidas e úteis:
- A função é
. - Intervalo onde buscamos o zero:
. - Precisão desejada:
. - Aproximação inicial sugerida para métodos iterativos:
.
A partir daqui vamos primeiro mostrar existência e unicidade do zero e, depois, aproximá-lo numericamente usando dois métodos (bisseção e Newton), explicando as ideias e parando quando a tolerância for satisfeita.
Passo 2
Existência de pelo menos um zero em
(Teorema do Valor Intermediário).
- Calcular
e :
- Como
é polinómica, é contínua em . Note que e . Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um tal que .
Comentário didático rápido: o Teorema do Valor Intermediário diz que seé contínua num intervalo e valores em extremos têm sinais opostos, então zera em algum ponto interno. Aqui a função é polinomial, logo contínua.
Passo 3
Unicidade do zero em
(monotonicidade via derivada).
- Calcular a derivada:
- Para
temos , portanto . Assim para todo . - Se
em um intervalo, é estritamente crescente nesse intervalo. Logo pode ter no máximo um zero em . - Conclusão combinada com o Passo 2: existe pelo menos um zero e no máximo um; portanto existe exatamente um zero em
.
Didática curta: usar a derivada para verificar se a função é monotônica é um jeito rápido de garantir unicidade do zero — se for estritamente monótona, não pode cruzar o eixo
mais de uma vez.
Passo 4
Escolha dos métodos e critérios de parada (motivo e regras).
- Métodos escolhidos: (i) método da bisseção — garante convergência porque temos mudança de sinal em extremos; (ii) método de Newton (Newton–Raphson) — converge mais rápido quando a aproximação inicial é razoável (aqui foi sugerida
). - Critérios de parada:
- Bisseção: parar quando
. Nesse caso . - Newton: parar quando
.
- Bisseção: parar quando
- Regra de arredondamento: nas contas intermédias utilizar quatro casas decimais (ou seja, arredondar cada valor calculado para 4 casas decimais conforme instruído). No final reportar o valor aproximado com as casas necessárias.
- Fórmulas rápidas usadas:
- Bisseção: ponto médio
; se então novo intervalo senão . - Newton:
.
- Bisseção: ponto médio
Passo 5
Aplicação do método da bisseção (iteração detalhada, valores com 4 casas decimais).
Partimos de ,
. Em cada linha:
e
arredondados a 4 casas decimais; atualizamos o intervalo conforme o sinal.
Partimos de
-
. Comoe ambos negativos, novo intervalo . -
. Sinal negativo → novo intervalo. -
. Sinal positivo → novo intervalo. -
. Sinal negativo → novo intervalo. -
. Sinal positivo → novo intervalo. -
. Sinal positivo → novo intervalo. -
. Sinal positivo; portanto o zero está em.
- Verificação do critério de parada: agora
. Portanto parámos. - Aproximação final pela bisseção: tomar o ponto médio do intervalo final
Arredondando a 4 casas decimais (conforme instruído nas contas): . - Observação sobre erro: o erro garantido pelo método da bisseção é
, portanto menor que .
Passo 6
Aplicação do método de Newton (iteração detalhada, com
e 4 casas decimais nas contas).
Fórmula:
Fórmula:
Iterações (arredondando cada valor calculado a 4 casas decimais):
-
.
-
.
Calculare (4 casas):
-
.
- Verificação do critério de parada:
. Portanto parámos. - Aproximação final pelo método de Newton (com as regras de arredondamento pedidas):
.
Breve comentário didático: Newton normalmente convergiu rápido (em apenas 3 iterações aqui, com a inicial
), enquanto a bisseção exige várias divisões do intervalo; por outro lado, a bisseção dá garantia de erro a cada iteração. Ambos deram aproximações compatíveis dentro de
.
Passo 7
Conclusão e verificação rápida:
- Pelo método da bisseção obtivemos
(com erro garantido ). - Pelo método de Newton (iniciando em
e arredondando a 4 casas nas contas) obtivemos .
As duas aproximações diferem por menos dee ambas satisfazem a tolerância .
Resposta
(a) A função possui exatamente um zero em
.
(b) Aproximações com : bisseção
; Newton
.
(b) Aproximações com