Considere a função f(x)=x^{3}-9 x+3.
a) Mostre que f(x) possui um único zero no intervalo [2,3].
b) Ache aproximadamente o valor do zero de f(x) no intervalo [2,3] com precisão d \varepsilon=\varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=0.005 (caso precise, use como aproximação inicial x_{0}=2.5 ). Utiliz nas contas quatro casas decimais.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Mostrar que a função f(x)=x^{3}-9x+3 possui um único zero no intervalo [2,3].
  • (b) Encontrar aproximadamente esse zero no intervalo [2,3] com precisão \varepsilon=\varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=0,005. Foi sugerido usar x_{0}=2,5 se necessário. Pedir-se-á usar quatro casas decimais nas contas.
Informações fornecidas e úteis:
  • A função é f(x)=x^{3}-9x+3.
  • Intervalo onde buscamos o zero: [2,3].
  • Precisão desejada: \varepsilon=0,005.
  • Aproximação inicial sugerida para métodos iterativos: x_{0}=2,5.
    A partir daqui vamos primeiro mostrar existência e unicidade do zero e, depois, aproximá-lo numericamente usando dois métodos (bisseção e Newton), explicando as ideias e parando quando a tolerância for satisfeita.

Passo 2

Existência de pelo menos um zero em [2,3] (Teorema do Valor Intermediário).
  • Calcular f(2) e f(3): f(2)=2^{3}-9\cdot2+3=8-18+3=-7,
f(3)=3^{3}-9\cdot3+3=27-27+3=3.
  • Como f é polinómica, é contínua em [2,3]. Note que f(2)=-7<0 e f(3)=3>0. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um c\in(2,3) tal que f\text{(c)}=0.
    Comentário didático rápido: o Teorema do Valor Intermediário diz que se f é contínua num intervalo e valores em extremos têm sinais opostos, então f zera em algum ponto interno. Aqui a função é polinomial, logo contínua.

Passo 3

Unicidade do zero em [2,3] (monotonicidade via derivada).
  • Calcular a derivada: f'(x)=3x^{2}-9=3(x^{2}-3).
  • Para x\in[2,3] temos x^{2}\ge 2^{2}=4, portanto x^{2}-3\ge 1>0. Assim f'(x)=3(x^{2}-3)>0 para todo x\in[2,3].
  • Se f'(x)>0 em um intervalo, f é estritamente crescente nesse intervalo. Logo f pode ter no máximo um zero em [2,3].
  • Conclusão combinada com o Passo 2: existe pelo menos um zero e no máximo um; portanto existe exatamente um zero em [2,3].
Didática curta: usar a derivada para verificar se a função é monotônica é um jeito rápido de garantir unicidade do zero — se for estritamente monótona, não pode cruzar o eixo x mais de uma vez.

Passo 4

Escolha dos métodos e critérios de parada (motivo e regras).
  • Métodos escolhidos: (i) método da bisseção — garante convergência porque temos mudança de sinal em extremos; (ii) método de Newton (Newton–Raphson) — converge mais rápido quando a aproximação inicial é razoável (aqui foi sugerida x_{0}=2,5).
  • Critérios de parada:
    • Bisseção: parar quando \dfrac{b-a}{2}\le \varepsilon. Nesse caso \varepsilon=0,005.
    • Newton: parar quando |x_{n+1}-x_{n}|\le \varepsilon.
  • Regra de arredondamento: nas contas intermédias utilizar quatro casas decimais (ou seja, arredondar cada valor calculado para 4 casas decimais conforme instruído). No final reportar o valor aproximado com as casas necessárias.
  • Fórmulas rápidas usadas:
    • Bisseção: ponto médio m=\dfrac{a+b}{2}; se f(a)\cdot f(m)\le 0 então novo intervalo [a,m] senão [m,b].
    • Newton: x_{n+1}=x_{n}-\dfrac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.

Passo 5

Aplicação do método da bisseção (iteração detalhada, valores com 4 casas decimais).
Partimos de a_{0}=2, b_{0}=3. Em cada linha: m e f(m) arredondados a 4 casas decimais; atualizamos o intervalo conforme o sinal.
  1. m_{1}=\dfrac{2+3}{2}=2,5.
    f(2,5000)=2,5000^{3}-9\cdot2,5000+3=15,6250-22,5000+3=-3,8750.
    Como f(2)=-7 e f(2,5)=-3,8750 ambos negativos, novo intervalo [2,\,3]\to[2{,}5,\,3].
  2. m_{2}=\dfrac{2{,}5+3}{2}=2{,}75.
    f(2,7500)=20,7969-24,7500+3=-0,9531\\ (\text{arred. }-0,9531).
    Sinal negativo → novo intervalo [2{,}75,\,3].
  3. m_{3}=\dfrac{2{,}75+3}{2}=2{,}875.
    f(2,8750)=23,7637-25,8750+3=0,8887\\ (\text{arred. }0,8887).
    Sinal positivo → novo intervalo [2{,}75,\,2{,}875].
  4. m_{4}=\dfrac{2{,}75+2{,}875}{2}=2{,}8125.
    f(2,8125)=22,2466-25,3125+3=-0,0659\\ (\text{arred. }-0,0659).
    Sinal negativo → novo intervalo [2{,}8125,\,2{,}875].
  5. m_{5}=\dfrac{2{,}8125+2{,}875}{2}=2{,}84375.
    f(2,8438)=22,9972-25,5938+3=0,4034\\ (\text{arred. }0,4034).
    Sinal positivo → novo intervalo [2{,}8125,\,2{,}84375].
  6. m_{6}=\dfrac{2{,}8125+2{,}84375}{2}=2{,}828125.
    f(2,8281)=22,6202-25,4531+3=0,1670\\ (\text{arred. }0,1670).
    Sinal positivo → novo intervalo [2{,}8125,\,2{,}828125].
  7. m_{7}=\dfrac{2{,}8125+2{,}828125}{2}=2{,}8203125.
    f(2,8203)=22,4335-25,3828+3=0,0507\\ (\text{arred. }0,0507).
    Sinal positivo; portanto o zero está em [2{,}8125,\,2{,}8203125].
  • Verificação do critério de parada: agora \dfrac{b-a}{2}=\dfrac{2{,}8203125-2{,}8125}{2}=0,00390625\le 0,005. Portanto parámos.
  • Aproximação final pela bisseção: tomar o ponto médio do intervalo final c=\dfrac{2{,}8125+2{,}8203125}{2}=2{,}81640625.Arredondando a 4 casas decimais (conforme instruído nas contas): 2{,}8164.
  • Observação sobre erro: o erro garantido pelo método da bisseção é \le\dfrac{b-a}{2}\le 0,00390625, portanto menor que \varepsilon=0,005.

Passo 6

Aplicação do método de Newton (iteração detalhada, com x_{0}=2,5 e 4 casas decimais nas contas).
Fórmula:
x_{n+1}=x_{n}-\dfrac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},\qquad f'(x)=3x^{2}-9.
Iterações (arredondando cada valor calculado a 4 casas decimais):
  1. x_{0}=2{,}5000. f(2{,}5000)=-3{,}8750,\qquad f'(2{,}5000)=9{,}7500.
\Delta_{0}=\dfrac{f(2{,}5000)}{f'(2{,}5000)}=-0{,}3974\\ (\text{arred. }-0{,}3974).
x_{1}=2{,}5000-(-0{,}3974)=2{,}8974.
  1. x_{1}=2{,}8974.
    Calcular f(x_{1}) e f'(x_{1}) (4 casas): f(2{,}8974)\approx 1{,}2469,\qquad f'(2{,}8974)\approx 16{,}1848.
\Delta_{1}=\dfrac{1{,}2469}{16{,}1848}\approx 0{,}0770\\ (\text{arred. }0{,}0770).
x_{2}=2{,}8974-0{,}0770=2{,}8204.
  1. x_{2}=2{,}8204. f(2{,}8204)\approx 0{,}0517,\qquad f'(2{,}8204)\approx 14{,}8640.
\Delta_{2}=\dfrac{0{,}0517}{14{,}8640}\approx 0{,}0035\\ (\text{arred. }0{,}0035).
x_{3}=2{,}8204-0{,}0035=2{,}8169.
  • Verificação do critério de parada: |x_{3}-x_{2}|=|2{,}8169-2{,}8204|=0{,}0035\le 0{,}005. Portanto parámos.
  • Aproximação final pelo método de Newton (com as regras de arredondamento pedidas): x\approx 2{,}8169.
Breve comentário didático: Newton normalmente convergiu rápido (em apenas 3 iterações aqui, com a inicial 2{,}5), enquanto a bisseção exige várias divisões do intervalo; por outro lado, a bisseção dá garantia de erro a cada iteração. Ambos deram aproximações compatíveis dentro de \varepsilon=0{,}005.

Passo 7

Conclusão e verificação rápida:
  • Pelo método da bisseção obtivemos x\approx 2{,}8164 (com erro garantido \le 0{,}00390625).
  • Pelo método de Newton (iniciando em 2{,}5 e arredondando a 4 casas nas contas) obtivemos x\approx 2{,}8169.
    As duas aproximações diferem por menos de 0{,}001 e ambas satisfazem a tolerância \varepsilon=0{,}005.

Resposta

(a) A função possui exatamente um zero em [2,3].
(b) Aproximações com \varepsilon=0,005: bisseção \approx 2{,}8164; Newton \approx 2{,}8169.

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