Determine se a série é convergente ou divergente:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^{n-1}}{4^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^{n-1}}{4^{n}}
é convergente ou divergente. Informações dadas:
  • A série é escrita termo a termo por a_n=\dfrac{(-2)^{n-1}}{4^{n}}.
  • A tarefa é decidir convergência/divergência e, se convergente, calcular a soma (quando possível).

Passo 2

Vamos manipular algebricamente o termo geral para ver se é uma série geométrica. Usamos propriedades de potências: \,x^{a}/x^{b}=x^{a-b}\, e (xy)^{n}=x^{n}y^{n}.
Começamos com
a_n=\frac{(-2)^{n-1}}{4^{n}}.
Escrevendo 4=2^{2} e separando uma potência a mais:
a_n=\frac{(-2)^{n-1}}{(2^{2})^{n}}=\frac{(-2)^{n-1}}{2^{2n}}.
Agora combine as potências de 2. Observe que (-2)^{n-1}=(-1)^{n-1}2^{n-1}. Assim
a_n=\frac{(-1)^{n-1}2^{n-1}}{2^{2n}}=(-1)^{n-1}2^{n-1-2n}=(-1)^{n-1}2^{-n-1}.
Outra forma mais direta é fatorar um termo:
\frac{(-2)^{n-1}}{4^{n}}=\left(\frac{-1}{2}\right)\left(\frac{-2}{4}\right)^{n}=\left(\frac{-1}{2}\right)\left(\frac{-1}{2}\right)^{n}=\left(\frac{-1}{2}\right)^{n+1}.
Portanto podemos escrever
a_n=\left(\frac{-1}{2}\right)^{n+1}.

Passo 3

A expressão \,a_n=\left(\dfrac{-1}{2}\right)^{n+1}\, mostra que a série é geométrica. Lembre a forma padrão de uma série geométrica iniciando em n=1:
\sum_{n=1}^{\infty} a_1 r^{\,n-1}=a_1\sum_{n=1}^{\infty} r^{\,n-1},
onde a_1 é o primeiro termo e r é a razão. Para a nossa série, calculemos o primeiro termo e a razão:
  • Primeiro termo: para n=1,
a_1=\left(\frac{-1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}.
  • Razão: \,r=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=-\dfrac{1}{2}.
Regra de convergência da série geométrica: se |r|<1 então a série converge e sua soma é
\frac{a_1}{1-r}.
Se |r|\ge 1 então diverge.
No nosso caso |r|=\left|\dfrac{-1}{2}\right|=\dfrac{1}{2}<1, portanto a série converge.

Passo 4

Calculemos a soma usando a fórmula da série geométrica convergente:
\text{Soma}=\frac{a_1}{1-r}=\frac{\dfrac{1}{4}}{1-(-\dfrac{1}{2})}=\frac{\dfrac{1}{4}}{1+\dfrac{1}{2}}=\frac{\dfrac{1}{4}}{\dfrac{3}{2}}=\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{6}.

Passo 5

Complemento didático (útil para prova): como os termos alternam de sinal, alguém poderia aplicar o teste da série alternante, mas aqui é mais direto reconhecer a série geométrica. Além disso, verifiquemos convergência absoluta: considere |a_n|=\dfrac{1}{2^{n+1}}. A série \sum_{n=1}^{\infty}|a_n|=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2^{n+1}} também é geométrica com razão \dfrac{1}{2}, logo converge; portanto a série original converge absolutamente (o que é uma forma forte de convergência).

Resposta

A série converge absolutamente e
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-2)^{n-1}}{4^{n}}=\frac{1}{6}.

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