Determine se a série é convergente ou divergente: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^{n-1}}{4^{n}}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^{n-1}}{4^{n}}
é convergente ou divergente. Informações dadas:
A série é escrita termo a termo por a_n=\dfrac{(-2)^{n-1}}{4^{n}}.
A tarefa é decidir convergência/divergência e, se convergente, calcular a soma (quando possível).
Passo 2
Vamos manipular algebricamente o termo geral para ver se é uma série geométrica. Usamos propriedades de potências: \,x^{a}/x^{b}=x^{a-b}\, e (xy)^{n}=x^{n}y^{n}.
Começamos com
a_n=\frac{(-2)^{n-1}}{4^{n}}.
Escrevendo 4=2^{2} e separando uma potência a mais:
Complemento didático (útil para prova): como os termos alternam de sinal, alguém poderia aplicar o teste da série alternante, mas aqui é mais direto reconhecer a série geométrica. Além disso, verifiquemos convergência absoluta: considere |a_n|=\dfrac{1}{2^{n+1}}. A série \sum_{n=1}^{\infty}|a_n|=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2^{n+1}} também é geométrica com razão \dfrac{1}{2}, logo converge; portanto a série original converge absolutamente (o que é uma forma forte de convergência).