Encontre o valor aproximado de \sqrt{5} utilizando o método de Newton com precisão de 4 casas decimais. Use como aproximação inicial x_{0}=2.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Aproximar \sqrt{5} usando o método de Newton com precisão de 4 casas decimais.
  • A aproximação inicial dada é x_{0}=2.
Informações relevantes fornecidas:
  • Função cuja raiz queremos: a raiz positiva de x^{2}-5=0 (essa raiz é \sqrt{5}).
  • Método: iterações de Newton iniciando em x_{0}=2.
  • Precisão desejada: 4 casas decimais.

Passo 2

Entendendo o método de Newton (explicação didática):
  • O método de Newton é um procedimento iterativo para encontrar raízes de uma função f(x). A cada passo usa-se a reta tangente em x_n para obter uma melhor aproximação x_{n+1}.
  • Fórmula geral do método de Newton:
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},
onde f'(x) é a derivada de f e x_{n} é a aproximação atual.
  • No nosso caso escolhemos
f(x)=x^{2}-5, \qquad f'(x)=2x.
Substituindo na fórmula geral obtemos:
x_{n+1}=x_{n}-\frac{x_{n}^{2}-5}{2x_{n}} =\frac{2x_{n}^{2}-(x_{n}^{2}-5)}{2x_{n}} =\frac{x_{n}^{2}+5}{2x_{n}} =\frac{x_{n}+\dfrac{5}{x_{n}}}{2}.
  • Interpretação simples: cada iteração calcula a média aritmética entre x_n e 5/x_n. Isso faz sentido porque, para a raiz positiva de x^2-5, x e 5/x são recíprocos aproximados e sua média tende rapidamente à \sqrt{5}.
  • Critério de parada prático para precisão de 4 casas decimais: podemos parar quando duas aproximações consecutivas concordarem nas 4 primeiras casas decimais. Uma forma numérica segura é exigir
|x_{n+1}-x_{n}|<\frac{1}{2}\times 10^{-4}=0{,}00005,
pois isso garante que o arredondamento a 4 casas decimais já não muda.

Passo 3

Cálculo das iterações (mostrando passo a passo):
  • Iteração 0 (dado):
x_{0}=2.
  • Iteração 1:
x_{1}=\frac{x_{0}+\dfrac{5}{x_{0}}}{2} =\frac{2+\dfrac{5}{2}}{2} =\frac{2+2{,}5}{2} =\frac{4{,}5}{2} =2{,}25.

Passo 4

  • Iteração 2 (faço a conta com frações exatas para ficar certinho):
x_{1}=\frac{9}{4}=2{,}25,\qquad \frac{5}{x_{1}}=\frac{5}{9/4}=\frac{20}{9}.
Logo
x_{2}=\frac{\dfrac{9}{4}+\dfrac{20}{9}}{2} =\frac{\dfrac{161}{36}}{2} =\frac{161}{72}.
Em decimal,
x_{2}=\frac{161}{72}\approx 2{,}236111111\ldots

Passo 5

  • Iteração 3 (usando a forma racional de x_{2} para obter exatidão):
x_{2}=\frac{161}{72},\qquad \frac{5}{x_{2}}=\frac{5}{161/72}=\frac{360}{161}.
Então
x_{3}=\frac{\dfrac{161}{72}+\dfrac{360}{161}}{2} =\frac{51841}{23184}.
Em decimal,
x_{3}=\frac{51841}{23184}\approx 2{,}23606797749979\ldots

Passo 6

Verificação do critério de parada:
  • Calculamos a diferença exata entre x_{3} e x_{2}. Usando denominador comum 23184 temos
x_{2}=\frac{161}{72}=\frac{51842}{23184},\qquad x_{3}=\frac{51841}{23184},
portanto
|x_{3}-x_{2}|=\frac{1}{23184}\approx 0{,}00004312\ldots
  • Esse valor é menor que 0{,}00005, logo o critério |x_{n+1}-x_{n}|<0{,}00005 está satisfeito em n=2 (isto é, entre x_{2} e x_{3}). Portanto já alcançamos a precisão necessária para ter quatro casas decimais confiáveis.
  • Arredondando x_{3} a quatro casas decimais: olhando para x_{3}\approx 2{,}2360679\ldots, as quatro casas decimais são 2{,}2360 e o quinto decimal é 6, que faz arredondar a quarta casa 0 para 1. Assim o valor de \sqrt{5} com precisão de 4 casas decimais é
2{,}2361.

Resposta

2{,}2361

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