Encontre o valor aproximado de
utilizando o método de Newton com precisão de 4 casas decimais. Use como aproximação inicial
.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Aproximar
usando o método de Newton com precisão de 4 casas decimais. - A aproximação inicial dada é
.
Informações relevantes fornecidas:
- Função cuja raiz queremos: a raiz positiva de
(essa raiz é ). - Método: iterações de Newton iniciando em
. - Precisão desejada: 4 casas decimais.
Passo 2
Entendendo o método de Newton (explicação didática):
- O método de Newton é um procedimento iterativo para encontrar raízes de uma função
. A cada passo usa-se a reta tangente em para obter uma melhor aproximação . - Fórmula geral do método de Newton:
onde
é a derivada de
e
é a aproximação atual.
- No nosso caso escolhemos
Substituindo na fórmula geral obtemos:
- Interpretação simples: cada iteração calcula a média aritmética entre
e . Isso faz sentido porque, para a raiz positiva de , e são recíprocos aproximados e sua média tende rapidamente à . - Critério de parada prático para precisão de 4 casas decimais: podemos parar quando duas aproximações consecutivas concordarem nas 4 primeiras casas decimais. Uma forma numérica segura é exigir
pois isso garante que o arredondamento a 4 casas decimais já não muda.
Passo 3
Cálculo das iterações (mostrando passo a passo):
- Iteração 0 (dado):
- Iteração 1:
Passo 4
- Iteração 2 (faço a conta com frações exatas para ficar certinho):
Logo
Em decimal,
Passo 5
- Iteração 3 (usando a forma racional de
para obter exatidão):
Então
Em decimal,
Passo 6
Verificação do critério de parada:
- Calculamos a diferença exata entre
e . Usando denominador comum temos
portanto
- Esse valor é menor que
, logo o critério está satisfeito em (isto é, entre e ). Portanto já alcançamos a precisão necessária para ter quatro casas decimais confiáveis. - Arredondando
a quatro casas decimais: olhando para , as quatro casas decimais são e o quinto decimal é , que faz arredondar a quarta casa para . Assim o valor de com precisão de 4 casas decimais é