4- Considere a função de onda
\psi(x)= \begin{cases}0, & x<-L / 2 \\\ A e^{i k x} \cos (3 \pi x / L), & -L / 2 \leq x \leq L / 2 \\\\ 0, & x>L / 2\end{cases}
(a) Normalize a função de onda.
(b) Calcule a probabilidade do sistema ser encontrado entre 0 \leq x \leq L / 4.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de onda por partes
\psi(x)= \begin{cases}0, & x<-L / 2 \\\ A e^{i k x} \cos \!\biggl(\dfrac{3\pi x}{L}\biggr), & -L / 2 \leq x \leq L / 2 \\\\ 0, & x>L / 2\end{cases}
As perguntas são:
(a) Normalizar a função de onda, ou seja, determinar A de modo que a probabilidade total seja 1.
(b) Calcular a probabilidade do sistema ser encontrado no intervalo 0 \leq x \leq L/4.
Informações relevantes dadas:
  • A função é diferente de zero somente no intervalo [-L/2,\,L/2].
  • Há um fator de fase e^{i k x} (com k dado), e um fator espacial \cos(3\pi x/L).
  • A pode ser, em princípio, complexo; a normalização fixa |A|.

Passo 2

Entender o que significa normalizar: a condição de normalização exige que a integral da densidade de probabilidade |\psi(x)|^2 sobre todo o eixo x seja igual a 1. Ou seja,
\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2\,dx = 1.
Vamos escrever essa integral usando que \psi(x)=0 fora de [-L/2,L/2]. Assim a integral se reduz a
\int_{-L/2}^{L/2} |\psi(x)|^2\,dx = 1.
Dentro do intervalo, \psi(x)=A e^{i k x}\cos\!\bigl(3\pi x/L\bigr). Para |\psi|^2 usamos a definição |\psi|^2=\psi^*\psi. Observação útil (lembrete): o módulo do fator de fase é 1, isto é |e^{i k x}|=1. Portanto
|\psi(x)|^2 = |A|^2 \cos^2\!\biggl(\dfrac{3\pi x}{L}\biggr)
para -L/2\le x\le L/2. Substituindo na condição de normalização:
|A|^2 \int_{-L/2}^{L/2} \cos^2\!\biggl(\dfrac{3\pi x}{L}\biggr)\,dx = 1.

Passo 3

Calcular a integral que aparece na normalização. Usamos a identidade trigonométrica básica
\cos^2\theta = \dfrac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Aplicando com \theta=\dfrac{3\pi x}{L} obtemos
\cos^2\!\biggl(\dfrac{3\pi x}{L}\biggr) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos\!\biggl(\dfrac{6\pi x}{L}\biggr).
Portanto a integral fica
\int_{-L/2}^{L/2} \cos^2\!\biggl(\dfrac{3\pi x}{L}\biggr)\,dx = \int_{-L/2}^{L/2} \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos\!\biggl(\dfrac{6\pi x}{L}\biggr)\right)\,dx.
Separando termos,
\int_{-L/2}^{L/2} \dfrac{1}{2}\,dx = \dfrac{1}{2}\cdot L,
e
\int_{-L/2}^{L/2} \dfrac{1}{2}\cos\!\biggl(\dfrac{6\pi x}{L}\biggr)\,dx = \dfrac{1}{2}\left[ \dfrac{L}{6\pi}\sin\!\biggl(\dfrac{6\pi x}{L}\biggr)\right]_{-L/2}^{L/2}.
Avaliaremos a função seno nos limites:
\sin\!\biggl(\dfrac{6\pi}{L}\cdot \dfrac{L}{2}\biggr)=\sin(3\pi)=0, \qquad \sin\!\biggl(\dfrac{6\pi}{L}\cdot \Bigl(-\dfrac{L}{2}\Bigr)\biggr)=\sin(-3\pi)=0.
Portanto o segundo termo é 0. Assim
\int_{-L/2}^{L/2} \cos^2\!\biggl(\dfrac{3\pi x}{L}\biggr)\,dx = \dfrac{L}{2}.
Voltando à condição de normalização:
|A|^2 \cdot \dfrac{L}{2} = 1 \quad\Rightarrow\quad |A|^2 = \dfrac{2}{L}.
Na prática, escolhe-se A com fase zero (convenção usual) e então
A = \sqrt{\dfrac{2}{L}}.
(Se preferir, poderia manter uma fase arbitrária A=\sqrt{2/L}\,e^{i\varphi}; a física não muda.)

Passo 4

Agora calculamos a probabilidade de encontrar o sistema em 0\le x\le L/4. Isso é
P_{[0,L/4]} = \int_{0}^{L/4} |\psi(x)|^2\,dx = |A|^2 \int_{0}^{L/4} \cos^2\!\biggl(\dfrac{3\pi x}{L}\biggr)\,dx.
Substituímos |A|^2=2/L e usamos novamente \cos^2\theta=(1+\cos 2\theta)/2. Assim
\int_{0}^{L/4} \cos^2\!\biggl(\dfrac{3\pi x}{L}\biggr)\,dx = \int_{0}^{L/4} \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos\!\biggl(\dfrac{6\pi x}{L}\biggr)\right)\,dx.
Integramos termo a termo:
\int_{0}^{L/4} \dfrac{1}{2}\,dx = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{L}{4} = \dfrac{L}{8},
\int_{0}^{L/4} \dfrac{1}{2}\cos\!\biggl(\dfrac{6\pi x}{L}\biggr)\,dx = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{L}{6\pi}\left[\sin\!\biggl(\dfrac{6\pi x}{L}\biggr)\right]_{0}^{L/4}.
Avaliação da seno:
\sin\!\biggl(\dfrac{6\pi}{L}\cdot \dfrac{L}{4}\biggr)=\sin\!\biggl(\dfrac{6\pi}{4}\biggr)=\sin\!\biggl(\dfrac{3\pi}{2}\biggr)=-1, \qquad \sin(0)=0.
Logo o segundo termo vale
\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{L}{6\pi}\cdot(-1) = -\dfrac{L}{12\pi}.
Somando os dois termos da integral:
\int_{0}^{L/4} \cos^2\!\biggl(\dfrac{3\pi x}{L}\biggr)\,dx = \dfrac{L}{8} - \dfrac{L}{12\pi}.
Multiplicando por |A|^2=2/L obtemos
P_{[0,L/4]} = \dfrac{2}{L}\left(\dfrac{L}{8} - \dfrac{L}{12\pi}\right) = 2\left(\dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{12\pi}\right) = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{6\pi}.
Se quiser um valor numérico aproximado,
P_{[0,L/4]} \approx 0{,}25 - 0{,}05305 \approx 0{,}1970.

Resposta

(a) A=\sqrt{\dfrac{2}{L}}
(b) P_{[0,L/4]}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{6\pi}\approx 0{,}1970

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