\psi(x)= \begin{cases}0, & x<-L / 2 \\\ A e^{i k x} \cos (3 \pi x / L), & -L / 2 \leq x \leq L / 2 \\\\ 0, & x>L / 2\end{cases}
(a) Normalize a função de onda.
(b) Calcule a probabilidade do sistema ser encontrado entre 0 \leq x \leq L / 4.
Passo 1
O enunciado nos dá a função de onda por partes
\psi(x)= \begin{cases}0, & x<-L / 2 \\\ A e^{i k x} \cos \!\biggl(\dfrac{3\pi x}{L}\biggr), & -L / 2 \leq x \leq L / 2 \\\\ 0, & x>L / 2\end{cases}
As perguntas são:
(a) Normalizar a função de onda, ou seja, determinar A de modo que a probabilidade total seja 1.
(b) Calcular a probabilidade do sistema ser encontrado no intervalo 0 \leq x \leq L/4.
Informações relevantes dadas:
A função é diferente de zero somente no intervalo [-L/2,\,L/2].
Há um fator de fase e^{i k x} (com k dado), e um fator espacial \cos(3\pi x/L).
A pode ser, em princípio, complexo; a normalização fixa |A|.
Passo 2
Entender o que significa normalizar: a condição de normalização exige que a integral da densidade de probabilidade |\psi(x)|^2 sobre todo o eixo x seja igual a 1. Ou seja,
\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2\,dx = 1.
Vamos escrever essa integral usando que \psi(x)=0 fora de [-L/2,L/2]. Assim a integral se reduz a
\int_{-L/2}^{L/2} |\psi(x)|^2\,dx = 1.
Dentro do intervalo, \psi(x)=A e^{i k x}\cos\!\bigl(3\pi x/L\bigr). Para |\psi|^2 usamos a definição |\psi|^2=\psi^*\psi. Observação útil (lembrete): o módulo do fator de fase é 1, isto é |e^{i k x}|=1. Portanto