1.89 Dados dois vetores
e
, determine: a) o módulo de cada vetor: b) uma expressão para a diferença vetorial
, usando vetores unitários; c) o módulo da diferença vetorial
. Este valor é igual ao módulo da diferença vetorial
? Explique.
Passo 1
O enunciado dá dois vetores e pede três coisas. Vou listar claramente o que temos e o que se pede:
-
Vetores fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
-
. -
.
-
-
Perguntas:
a) Determinar o módulo de cada vetore .
b) Escrever a expressão vetorial da diferençausando vetores unitários .
c) Calcular o módulo da diferençae verificar se esse valor é igual ao módulo de . Responder se são iguais e explicar por quê.
Agora começo a resolver passo a passo, explicando bem cada fórmula e cada conta.
Passo 2
Definição e fórmula do módulo (norma) de um vetor no espaço 3D — aula rápida e prática.
- Se um vetor é
, o módulo (ou norma) é dado por:
- Aqui
são as componentes escalares do vetor ao longo das direções . A raiz quadrada reúne a soma dos quadrados das componentes (teorema de Pitágoras em 3D). É isso que usaremos para e .
Calculemos
aplicando a fórmula com
,
,
.
Passo 3
Cálculo do módulo de
.
Aplicando a fórmula:
Agora computa cada quadrado:
Somando:
Portanto:
Se quiser uma aproximação numérica para usar na prova:
Passo 4
Cálculo do módulo de
.
Aplicando a fórmula com
,
,
:
Computando os quadrados:
Somando:
Logo:
Aproximação numérica:
Passo 5
Como calcular a diferença vetorial
— regra e explicação.
- Regra: a subtração de vetores é feita componente a componente. Se
e , então
Isto é intuitivo: subtrai-se cada projeção nas direções base.
Agora aplico com os valores dados.
Passo 6
Cálculo efetivo de
.
Componentes:
Portanto, a diferença vetorial expressa com vetores unitários é:
Passo 7
Cálculo do módulo da diferença
.
Usando a fórmula da norma para
com componentes
:
Calculando os quadrados:
Somando:
Logo:
Aproximação numérica:
Passo 8
Comparação entre
e
— por que são iguais.
- Observe que
. Ou seja, trocar a ordem só muda o sinal do vetor diferença. - Propriedade do módulo: para qualquer vetor
vale . Uma demonstração rápida:
- Portanto
. Numericamente, também.
Resposta
a)
,
b)
c)
Sim, .
Sim,