1.89 Dados dois vetores \vec{A}=-2,0 \hat{i}+3,0 \hat{j}+4,0 \hat{k} e \vec{B}= 3.0 \hat{t}+1.0 \hat{j}-3.0 \hat{k}, determine: a) o módulo de cada vetor: b) uma expressão para a diferença vetorial \vec{A}-\vec{B}, usando vetores unitários; c) o módulo da diferença vetorial \vec{A}-\vec{B}. Este valor é igual ao módulo da diferença vetorial \vec{B}-\vec{A} ? Explique.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores e pede três coisas. Vou listar claramente o que temos e o que se pede:
  • Vetores fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
    • \vec{A} = -2,0\,\hat{i} + 3,0\,\hat{j} + 4,0\,\hat{k}.
    • \vec{B} = 3,0\,\hat{i} + 1,0\,\hat{j} - 3,0\,\hat{k}.
  • Perguntas:
    a) Determinar o módulo de cada vetor |\vec{A}| e |\vec{B}|.
    b) Escrever a expressão vetorial da diferença \vec{A}-\vec{B} usando vetores unitários \hat{i},\hat{j},\hat{k}.
    c) Calcular o módulo da diferença |\vec{A}-\vec{B}| e verificar se esse valor é igual ao módulo de |\vec{B}-\vec{A}|. Responder se são iguais e explicar por quê.
Agora começo a resolver passo a passo, explicando bem cada fórmula e cada conta.

Passo 2

Definição e fórmula do módulo (norma) de um vetor no espaço 3D — aula rápida e prática.
  • Se um vetor é \vec{V}=V_x\,\hat{i}+V_y\,\hat{j}+V_z\,\hat{k}, o módulo (ou norma) |\vec{V}| é dado por:
|\vec{V}|=\sqrt{V_x^{2}+V_y^{2}+V_z^{2}}.
  • Aqui V_x,V_y,V_z são as componentes escalares do vetor ao longo das direções \hat{i},\hat{j},\hat{k}. A raiz quadrada reúne a soma dos quadrados das componentes (teorema de Pitágoras em 3D). É isso que usaremos para \vec{A} e \vec{B}.
Calculemos |\vec{A}| aplicando a fórmula com V_x=-2,0, V_y=3,0, V_z=4,0.

Passo 3

Cálculo do módulo de \vec{A}.
Aplicando a fórmula:
|\vec{A}|=\sqrt{(-2,0)^{2}+(3,0)^{2}+(4,0)^{2}}.
Agora computa cada quadrado:
(-2,0)^{2}=4,0,\qquad (3,0)^{2}=9,0,\qquad (4,0)^{2}=16,0.
Somando:
(-2,0)^{2}+(3,0)^{2}+(4,0)^{2}=4,0+9,0+16,0=29,0.
Portanto:
|\vec{A}|=\sqrt{29,0}=\sqrt{29}.
Se quiser uma aproximação numérica para usar na prova:
\sqrt{29}\approx5,385.

Passo 4

Cálculo do módulo de \vec{B}.
Aplicando a fórmula com V_x=3,0, V_y=1,0, V_z=-3,0:
|\vec{B}|=\sqrt{(3,0)^{2}+(1,0)^{2}+(-3,0)^{2}}.
Computando os quadrados:
(3,0)^{2}=9,0,\qquad (1,0)^{2}=1,0,\qquad (-3,0)^{2}=9,0.
Somando:
9,0+1,0+9,0=19,0.
Logo:
|\vec{B}|=\sqrt{19,0}=\sqrt{19}.
Aproximação numérica:
\sqrt{19}\approx4,359.

Passo 5

Como calcular a diferença vetorial \vec{A}-\vec{B} — regra e explicação.
  • Regra: a subtração de vetores é feita componente a componente. Se \vec{A}=A_x\,\hat{i}+A_y\,\hat{j}+A_z\,\hat{k} e \vec{B}=B_x\,\hat{i}+B_y\,\hat{j}+B_z\,\hat{k}, então
\vec{A}-\vec{B}=(A_x-B_x)\,\hat{i}+(A_y-B_y)\,\hat{j}+(A_z-B_z)\,\hat{k}.
Isto é intuitivo: subtrai-se cada projeção nas direções base.
Agora aplico com os valores dados.

Passo 6

Cálculo efetivo de \vec{A}-\vec{B}.
Componentes:
A_x-B_x = -2,0 - 3,0 = -5,0,
A_y-B_y = 3,0 - 1,0 = 2,0,
A_z-B_z = 4,0 - (-3,0) = 4,0 + 3,0 = 7,0.
Portanto, a diferença vetorial expressa com vetores unitários é:
\vec{A}-\vec{B} = -5,0\,\hat{i} + 2,0\,\hat{j} + 7,0\,\hat{k}.

Passo 7

Cálculo do módulo da diferença |\vec{A}-\vec{B}|.
Usando a fórmula da norma para \vec{D}=\vec{A}-\vec{B} com componentes (-5,0,\,2,0,\,7,0):
|\vec{A}-\vec{B}|=\sqrt{(-5,0)^{2}+(2,0)^{2}+(7,0)^{2}}.
Calculando os quadrados:
(-5,0)^{2}=25,0,\qquad (2,0)^{2}=4,0,\qquad (7,0)^{2}=49,0.
Somando:
25,0+4,0+49,0=78,0.
Logo:
|\vec{A}-\vec{B}|=\sqrt{78,0}=\sqrt{78}.
Aproximação numérica:
\sqrt{78}\approx8,832.

Passo 8

Comparação entre |\vec{A}-\vec{B}| e |\vec{B}-\vec{A}| — por que são iguais.
  • Observe que \vec{B}-\vec{A}=-(\vec{A}-\vec{B}). Ou seja, trocar a ordem só muda o sinal do vetor diferença.
  • Propriedade do módulo: para qualquer vetor \vec{V} vale |-\vec{V}|=|\vec{V}|. Uma demonstração rápida:
|-\vec{V}|=\sqrt{(-V_x)^{2}+(-V_y)^{2}+(-V_z)^{2}}=\sqrt{V_x^{2}+V_y^{2}+V_z^{2}}=|\vec{V}|.
  • Portanto |\vec{B}-\vec{A}|=|-(\vec{A}-\vec{B})|=|\vec{A}-\vec{B}|. Numericamente, |\vec{B}-\vec{A}|=\sqrt{78} também.

Resposta

a) |\vec{A}|=\sqrt{29}\approx5,385, |\vec{B}|=\sqrt{19}\approx4,359
b) \vec{A}-\vec{B}=-5,0\,\hat{i}+2,0\,\hat{j}+7,0\,\hat{k}
c) |\vec{A}-\vec{B}|=\sqrt{78}\approx8,832
Sim, |\vec{A}-\vec{B}|=|\vec{B}-\vec{A}|.

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