Considere a função f(x)=2 \operatorname{sen}(2 x)
a) Calcule as seis primeiras derivadas dessa função.
b) Calcule as derivadas de número 79 e 792 dessa função.

Passo 1

O enunciado pede as seis primeiras derivadas de f(x)=2\sin(2x) e, em seguida, as derivadas de ordem 79 e 792. O conteúdo aqui é diferenciação de seno com regra da cadeia e uso do fato de que as derivadas de \sin e \cos repetem a cada quatro aplicações.

Passo 2

Derivando uma vez e aplicando a regra da cadeia:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2\sin(2x)\bigr)=2\cdot\cos(2x)\cdot2=4\cos(2x).

Passo 3

Derivando de novo:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(4\cos(2x)\bigr)=4\cdot(-\sin(2x))\cdot2=-8\sin(2x).

Passo 4

Terceira derivada:
f'''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-8\sin(2x)\bigr)=-8\cdot\cos(2x)\cdot2=-16\cos(2x).

Passo 5

Quarta derivada:
f^{(4)}(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-16\cos(2x)\bigr)=-16\cdot(-\sin(2x))\cdot2=32\sin(2x).

Passo 6

Quinta derivada:
f^{(5)}(x)=\frac{d}{dx}\bigl(32\sin(2x)\bigr)=32\cdot\cos(2x)\cdot2=64\cos(2x).

Passo 7

Sexta derivada:
f^{(6)}(x)=\frac{d}{dx}\bigl(64\cos(2x)\bigr)=64\cdot(-\sin(2x))\cdot2=-128\sin(2x).

Passo 8

Observando o padrão de fator 2 a cada derivação e a rotação de fase de \pi/2, vale a fórmula geral
f^{(n)}(x)=2^{\,n+1}\sin\bigl(2x + n\frac{\pi}{2}\bigr).

Passo 9

Para n=79 temos
f^{(79)}(x)=2^{80}\sin\Bigl(2x + 79\frac{\pi}{2}\Bigr) =2^{80}\sin\Bigl(2x + 3\frac{\pi}{2}\Bigr) =2^{80}\bigl(-\cos(2x)\bigr) =-2^{80}\cos(2x).

Passo 10

Para n=792 temos
f^{(792)}(x)=2^{793}\sin\Bigl(2x + 792\frac{\pi}{2}\Bigr) =2^{793}\sin\bigl(2x + 396\pi\bigr) =2^{793}\sin(2x).

Resposta

a) \displaystyle f'(x)=4\cos(2x) \displaystyle f''(x)=-8\sin(2x) \displaystyle f'''(x)=-16\cos(2x) \displaystyle f^{(4)}(x)=32\sin(2x) \displaystyle f^{(5)}(x)=64\cos(2x) \displaystyle f^{(6)}(x)=-128\sin(2x) b) \displaystyle f^{(79)}(x)=-2^{80}\cos(2x) \displaystyle f^{(792)}(x)=2^{793}\sin(2x)

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