Use diferenciação implícita para calcular a derivada das funções abaixo:
y=x^{x^{2}}. Dica: similar ao que foi feito em sala para calcular a derivada de y=x^{x}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
y = x^{x^2}
usando diferenciação implícita. O conteúdo envolvido é logaritmo e regra do produto na diferenciação de funções do tipo x^{g(x)}.

Passo 2

Tomamos logaritmo natural em ambos os lados para simplificar a potência variável:
\ln y = \ln\bigl(x^{x^2}\bigr) = x^2 \ln x.

Passo 3

Diferenciamos implicitamente em relação a x. No lado esquerdo, aplicamos \frac{d}{dx}[\ln y]=\frac{y'}{y}. No direito, usamos a regra do produto em x^2\ln x:
\frac{y'}{y} = \frac{d}{dx}\bigl(x^2\ln x\bigr) = 2x\ln x + x^2\cdot\frac{1}{x} = 2x\ln x + x.

Passo 4

Isolamos y' e substituímos y = x^{x^2}:
y' = y\,(2x\ln x + x) = x^{x^2}\,(2x\ln x + x).

Resposta

y' = x^{x^2}\,(2x\ln x + x).

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