Considere a função f(x)=3 x^{2}+\operatorname{sen}(x)-2. Localize graficamente uma vizinhança para as raízes de \mathrm{f}(\mathrm{x}).
a)Determine a raiz negativa de f(x) usando o Método de Newton com \varepsilon=0.001.
b)Determine a raiz positiva usando o Método das Secantes, com \varepsilon=0.1.

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede duas coisas:
  • Localizar graficamente uma vizinhança para as raízes de f.
  • (a) Determinar a raiz negativa usando o Método de Newton com \varepsilon=0{,}001.
  • (b) Determinar a raiz positiva usando o Método das Secantes com \varepsilon=0{,}1.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
f(x)=3x^{2}+\operatorname{sen}(x)-2.
Primeiro vamos localizar intervalos onde f muda de sinal (isso é a parte “localizar graficamente uma vizinhança”, mas faremos por avaliação de pontos simples):
  • f(0)=3\cdot0^{2}+\operatorname{sen}(0)-2= -2 (negativo).
  • f(1)=3\cdot1^{2}+\operatorname{sen}(1)-2=1+\operatorname{sen}(1). Sabendo \operatorname{sen}(1)\approx0{,}84147098, obtemos f(1)\approx1{,}84147>0. Logo há uma raiz em (0,1).
  • f(-1)=3\cdot(-1)^{2}+\operatorname{sen}(-1)-2=1+\operatorname{sen}(-1). Sabendo \operatorname{sen}(-1)=-\operatorname{sen}(1)\approx-0{,}84147098, obtemos f(-1)\approx0{,}158529>0. Como f(0)=-2<0 e f(-1)>0, há uma raiz em (-1,0).
Conclusão desta etapa: existe uma raiz negativa em (-1,0) e uma raiz positiva em (0,1). Essas são as vizinhanças que usaremos como ponto de partida para os métodos pedidos.

Passo 2

Método de Newton — teoria rápida e escolha de critério de parada.
Fórmula do Método de Newton:
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Aqui f'(x) é a derivada de f. Para nossa função:
f(x)=3x^{2}+\operatorname{sen}(x)-2,\qquad f'(x)=6x+\cos(x).
Critério de parada que vou usar (explicando a escolha): vou usar como critério |x_{n+1}-x_n|<\varepsilon. Isso é comum e garante que a aproximação da raiz mudou pouco; como o enunciado deu \varepsilon=0{,}001 para Newton, vamos usar esse valor.
Escolha do chute inicial: pela localização vimos raiz negativa em (-1,0). Um chute natural e seguro é x_0=-1 (está no limite do intervalo e f(-1)>0). Assim aplica-se Newton.
Agora vou iterar mostrando todas as contas (usarei aproximações decimais com precisão suficiente para \varepsilon=0{,}001).
Iteração 0:
x_0=-1.
Calcule f(x_0) e f'(x_0):
f(x_0)=3(1)+\operatorname{sen}(-1)-2=1-\operatorname{sen}(1)\approx1-0{,}84147098=0{,}15852902.
f'(x_0)=6(-1)+\cos(-1)=-6+\cos(1)\approx-6+0{,}54030231=-5{,}45969769.
Aplicando Newton:
x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}=-1-\frac{0{,}15852902}{-5{,}45969769}\approx-1+0{,}0290359\approx-0{,}9709641.
Iteração 1:
x_1\approx-0{,}9709641.
Calcular f(x_1) e f'(x_1). Para avaliar \operatorname{sen}(x_1) e \cos(x_1) usamos uma aproximação linear em torno de 1 (porque x_1 está perto de -1 em valor absoluto, isto é, |x_1| próximo de 1):
se x_1=-0{,}9709641 então |x_1|=0{,}9709641 e podemos usar
\operatorname{sen}(0{,}9709641)\approx \operatorname{sen}(1)+ (0{,}9709641-1)\cos(1)
(com a expansão linear \operatorname{sen}(1+\delta)\approx\operatorname{sen}(1)+\delta\cos(1)). Assim:
\delta=0{,}9709641-1=-0{,}0290359,
\operatorname{sen}(0{,}9709641)\approx0{,}84147098+(-0{,}0290359)\cdot0{,}54030231\approx0{,}8258030.
Então \operatorname{sen}(x_1)=\operatorname{sen}(-0{,}9709641)\approx-0{,}8258030.
Também
\cos(0{,}9709641)\approx\cos(1)-\delta\sin(1)
(pois \cos(1+\delta)\approx\cos(1)-\delta\sin(1)), ou seja
\cos(0{,}9709641)\approx0{,}54030231 -(-0{,}0290359)\cdot0{,}84147098\approx0{,}5646943.
Agora x_1^{2}=(0{,}9709641)^{2}\approx0{,}942770 e
3x_1^{2}\approx2{,}82831.
Portanto
f(x_1)=3x_1^{2}+\operatorname{sen}(x_1)-2\approx2{,}82831-0{,}8258030-2\approx0{,}002507.
E
f'(x_1)=6x_1+\cos(x_1)\approx6(-0{,}9709641)+0{,}5646943\approx-5{,}8257846+0{,}5646943\approx-5{,}2610903.
Aplicando Newton:
x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}\approx-0{,}9709641-\frac{0{,}002507}{-5{,}2610903}\approx-0{,}9709641+0{,}0004765\approx-0{,}9704876.
Agora verifique a diferença:
|x_2-x_1|\approx| -0{,}9704876 -(-0{,}9709641)|\approx0{,}0004765<0{,}001.
Como a diferença entre iterações caiu abaixo de \varepsilon=0{,}001, paramos. A aproximação da raiz negativa pelo Método de Newton é
x\approx-0{,}970488\quad(\text{aprox. com critério }|x_{n+1}-x_n|<0{,}001).é

Passo 3

Método das Secantes — teoria rápida e escolha de critério de parada.
Fórmula do Método das Secantes:
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.
Vou usar critério de parada |x_{n+1}-x_n|<\varepsilon com \varepsilon=0{,}1 (dado no enunciado). Esse critério é consistente com a exigência mais frouxa do problema (erro permitido maior).
Escolha dos chutes iniciais: da localização anterior, a raiz positiva está em (0,1). Tomarei x_0=0{,}5 e x_1=0{,}8 (valores simples e que dão sinais opostos, o que ajuda na convergência).
Agora calculo as iterações com as contas detalhadas.
Avaliações iniciais:
x_0=0{,}5,\qquad \operatorname{sen}(0{,}5)\approx0{,}47942554,\qquad f(x_0)=3(0{,}5)^{2}+\operatorname{sen}(0{,}5)-2=0{,}75+0{,}47942554-2\approx-0{,}77057446.
x_1=0{,}8,\qquad \operatorname{sen}(0{,}8)\approx0{,}71735609,\qquad f(x_1)=3(0{,}8)^{2}+\operatorname{sen}(0{,}8)-2=1{,}92+0{,}71735609-2\approx0{,}63735609.
Iteração 1 (secante):
x_2=x_1-\frac{f(x_1)(x_1-x_0)}{f(x_1)-f(x_0)} =0{,}8-\frac{0{,}63735609\cdot(0{,}8-0{,}5)}{0{,}63735609-(-0{,}77057446)}.
Calcule numerador e denominador:
\text{num}=0{,}63735609\cdot0{,}3\approx0{,}191206827,\qquad \text{den}=0{,}63735609+0{,}77057446\approx1{,}40793055.
x_2\approx0{,}8-\frac{0{,}191206827}{1{,}40793055}\approx0{,}8-0{,}135791\approx0{,}664209.
Verificamos diferença:
|x_2-x_1|\approx|0{,}664209-0{,}8|=0{,}135791>0{,}1,
ainda não satisfez o critério \varepsilon=0{,}1, logo continuamos.
Avaliar f(x_2). Primeiro alguns cálculos:
x_2^{2}\approx(0{,}664209)^{2}\approx0{,}441168\quad(\text{cálculo: }0{,}6642^{2}\approx0{,}44117),á
3x_2^{2}\approx1{,}323504.
Para \operatorname{sen}(0{,}664209) uso a aproximação por série curta:
\operatorname{sen}(x)\approx x-\frac{x^{3}}{6} \quad\text{(suficiente aqui para três casas decimais)},ê
x_2^{3}\approx0{,}664209\cdot0{,}441168\approx0{,}2929,
\operatorname{sen}(0{,}664209)\approx0{,}664209-\frac{0{,}2929}{6}\approx0{,}664209-0{,}048816\approx0{,}615393.
(essa aproximação dá a ordem correta; anteriormente usamos 0{,}61624 pela outra aproximação — resultados são consistentes para o critério grosso exigido).
f(x_2)\approx1{,}323504+0{,}615393-2\approx-0{,}061103.
Iteração 2 (secante usando x_1 e x_2):
x_3=x_2-\frac{f(x_2)(x_2-x_1)}{f(x_2)-f(x_1)}.
Calcule:
x_2-x_1=0{,}664209-0{,}8=-0{,}135791,
f(x_2)-f(x_1)\approx-0{,}061103-0{,}63735609\approx-0{,}69845909.
\text{num}=f(x_2)(x_2-x_1)\approx(-0{,}061103)\cdot(-0{,}135791)\approx0{,}008301.
\frac{\text{num}}{f(x_2)-f(x_1)}\approx\frac{0{,}008301}{-0{,}69845909}\approx-0{,}01188.
x_3\approx x_2 -(-0{,}01188)\approx0{,}664209+0{,}01188\approx0{,}676089.
Agora verifique a diferença:
|x_3-x_2|\approx|0{,}676089-0{,}664209|\approx0{,}01188<0{,}1.
Portanto o critério \varepsilon=0{,}1 está satisfeito e paramos. A aproximação da raiz positiva pelo Método das Secantes é
x\approx0{,}67609.
Observação: a precisão pedida para a secante foi baixa ( \varepsilon=0{,}1), por isso paramos cedo; se fosse exigida maior precisão deveríamos continuar iterando.

Passo 4

Resumo das aproximações obtidas pelos métodos pedidos:
  • Raiz negativa (Método de Newton, \varepsilon=0{,}001): x\approx-0{,}970488.
  • Raiz positiva (Método das Secantes, \varepsilon=0{,}1): x\approx0{,}676089.

Resposta

-0{,}970488
0{,}676089

Exercícios relacionados