Considere a função
. Localize graficamente uma vizinhança para as raízes de
.
a)Determine a raiz negativa de
usando o Método de Newton com
.
b)Determine a raiz positiva usando o Método das Secantes, com
.
a)Determine a raiz negativa de
b)Determine a raiz positiva usando o Método das Secantes, com
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Localizar graficamente uma vizinhança para as raízes de
. - (a) Determinar a raiz negativa usando o Método de Newton com
. - (b) Determinar a raiz positiva usando o Método das Secantes com
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Primeiro vamos localizar intervalos onde
muda de sinal (isso é a parte “localizar graficamente uma vizinhança”, mas faremos por avaliação de pontos simples):
-
(negativo). -
. Sabendo , obtemos . Logo há uma raiz em . -
. Sabendo , obtemos . Como e , há uma raiz em .
Conclusão desta etapa: existe uma raiz negativa em
e uma raiz positiva em
. Essas são as vizinhanças que usaremos como ponto de partida para os métodos pedidos.
Passo 2
Método de Newton — teoria rápida e escolha de critério de parada.
Fórmula do Método de Newton:
Aqui
é a derivada de
. Para nossa função:
Critério de parada que vou usar (explicando a escolha): vou usar como critério
. Isso é comum e garante que a aproximação da raiz mudou pouco; como o enunciado deu
para Newton, vamos usar esse valor.
Escolha do chute inicial: pela localização vimos raiz negativa em
. Um chute natural e seguro é
(está no limite do intervalo e
). Assim aplica-se Newton.
Agora vou iterar mostrando todas as contas (usarei aproximações decimais com precisão suficiente para
).
Iteração 0:
Calcule
e
:
Aplicando Newton:
Iteração 1:
Calcular
e
. Para avaliar
e
usamos uma aproximação linear em torno de
(porque
está perto de
em valor absoluto, isto é,
próximo de
):
se então
e podemos usar
se
(com a expansão linear
). Assim:
Então
.
Também
Também
(pois
), ou seja
Agora
e
Portanto
E
Aplicando Newton:
Agora verifique a diferença:
Como a diferença entre iterações caiu abaixo de
, paramos. A aproximação da raiz negativa pelo Método de Newton é
Passo 3
Método das Secantes — teoria rápida e escolha de critério de parada.
Fórmula do Método das Secantes:
Vou usar critério de parada
com
(dado no enunciado). Esse critério é consistente com a exigência mais frouxa do problema (erro permitido maior).
Escolha dos chutes iniciais: da localização anterior, a raiz positiva está em
. Tomarei
e
(valores simples e que dão sinais opostos, o que ajuda na convergência).
Agora calculo as iterações com as contas detalhadas.
Avaliações iniciais:
Iteração 1 (secante):
Calcule numerador e denominador:
Verificamos diferença:
ainda não satisfez o critério
, logo continuamos.
Avaliar
. Primeiro alguns cálculos:
Para
uso a aproximação por série curta:
(essa aproximação dá a ordem correta; anteriormente usamos 0{,}61624 pela outra aproximação — resultados são consistentes para o critério grosso exigido).
Iteração 2 (secante usando
e
):
Calcule:
Agora verifique a diferença:
Portanto o critério
está satisfeito e paramos. A aproximação da raiz positiva pelo Método das Secantes é
Observação: a precisão pedida para a secante foi baixa (
), por isso paramos cedo; se fosse exigida maior precisão deveríamos continuar iterando.
Passo 4
Resumo das aproximações obtidas pelos métodos pedidos:
- Raiz negativa (Método de Newton,
): . - Raiz positiva (Método das Secantes,
): .