Determinar os pontos em que a curva
Passo 1
O enunciado dá uma curva no espaço e um plano e pede os pontos em que a curva corta (interseca) o plano. Informações dadas:
- A curva paramétrica é
. Assim as coordenadas do ponto da curva são: -
, -
, -
.
-
- O plano é dado pela equação
.
Pergunta a responder: determinar os pontos (valores de
e as coordenadas correspondentes) em que a curva intersecta o plano.
Passo 2
Ideia prática (explicando a teoria necessária, passo a passo): um ponto da curva correspondente a um certo parâmetro
intercepta o plano quando as coordenadas
satisfazem a equação do plano. Portanto basta substituir
,
,
na equação do plano e resolver a equação em
.
Isso é só aplicação direta: pegar a equação do plano e substituir as componentes da curva.
Passo 3
Substituindo
,
e
na equação do plano
, obtemos:
Agora desenvolve-se a expressão termo a termo:
Agrupando os termos semelhantes (primeiro os de
, depois os de
e finalmente os constantes):
Assim:
Passo 4
Agora resolvemos a equação quadrática
.
Método 1 — fatoração direta: procurar dois números cujo produto seja
e a soma seja
. Esses números são
e
. Logo
o que dá as soluções
(Fácil alternativa: usar a fórmula quadrática
, que também dá
ou
.)
Passo 5
Agora calculamos os pontos correspondentes na curva substituindo cada
em
.
Para
:
Logo o ponto é
.
Para
:
Logo o ponto é
.
Passo 6
Verificação rápida (boa prática na prova): verificar que cada ponto satisfaça a equação do plano.
Para
:
Para
:
Ambos satisfazem o plano, portanto as interseções estão corretas.