Determinar os pontos em que a curva
\vec{r}(t)=\left(t^{2}-1\right) \vec{i}+\left(t^{2}+1\right) \vec{j}+3 t \vec{k}, \text { corta o plano } 3 x-2 y-z+7=0

Passo 1

O enunciado dá uma curva no espaço e um plano e pede os pontos em que a curva corta (interseca) o plano. Informações dadas:
  • A curva paramétrica é \vec{r}(t)=\bigl(t^{2}-1\bigr)\vec{i}+\bigl(t^{2}+1\bigr)\vec{j}+3t\,\vec{k}. Assim as coordenadas do ponto da curva são:
    • x(t)=t^{2}-1,
    • y(t)=t^{2}+1,
    • z(t)=3t.
  • O plano é dado pela equação 3x-2y-z+7=0.
Pergunta a responder: determinar os pontos (valores de t e as coordenadas correspondentes) em que a curva intersecta o plano.

Passo 2

Ideia prática (explicando a teoria necessária, passo a passo): um ponto da curva correspondente a um certo parâmetro t intercepta o plano quando as coordenadas (x(t),y(t),z(t)) satisfazem a equação do plano. Portanto basta substituir x(t), y(t), z(t) na equação do plano e resolver a equação em t.
Isso é só aplicação direta: pegar a equação do plano e substituir as componentes da curva.

Passo 3

Substituindo x(t)=t^{2}-1, y(t)=t^{2}+1 e z(t)=3t na equação do plano 3x-2y-z+7=0, obtemos:
3\bigl(t^{2}-1\bigr)-2\bigl(t^{2}+1\bigr)-3t+7=0.
Agora desenvolve-se a expressão termo a termo:
3t^{2}-3-2t^{2}-2-3t+7=0.
Agrupando os termos semelhantes (primeiro os de t^{2}, depois os de t e finalmente os constantes):
(3t^{2}-2t^{2})+(-3t)+(-3-2+7)=0.
Assim:
t^{2}-3t+2=0.

Passo 4

Agora resolvemos a equação quadrática \,t^{2}-3t+2=0.
Método 1 — fatoração direta: procurar dois números cujo produto seja 2 e a soma seja -3. Esses números são -1 e -2. Logo
t^{2}-3t+2=(t-1)(t-2)=0,
o que dá as soluções
t=1\quad\text{ou}\quad t=2.
(Fácil alternativa: usar a fórmula quadrática \,t=\dfrac{3\pm\sqrt{9-8}}{2}=\dfrac{3\pm1}{2}, que também dá t=1 ou t=2.)

Passo 5

Agora calculamos os pontos correspondentes na curva substituindo cada t em \vec{r}(t).
Para t=1:
x(1)=1^{2}-1=0,\qquad y(1)=1^{2}+1=2,\qquad z(1)=3\cdot1=3.
Logo o ponto é (0,2,3).
Para t=2:
x(2)=2^{2}-1=4-1=3,\qquad y(2)=2^{2}+1=4+1=5,\qquad z(2)=3\cdot2=6.
Logo o ponto é (3,5,6).

Passo 6

Verificação rápida (boa prática na prova): verificar que cada ponto satisfaça a equação do plano.
Para (0,2,3):
3\cdot0-2\cdot2-3+7=0-4-3+7=0.
Para (3,5,6):
3\cdot3-2\cdot5-6+7=9-10-6+7=0.
Ambos satisfazem o plano, portanto as interseções estão corretas.

Resposta

(0,2,3)
(3,5,6)

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