Usando os métodos da Bisseção, de Newton e das Secantes, resolva a equação 3 \cos (x)-e^{-0.4 x}=0 e \varepsilon=0.1. Localize graficamente uma vizinhança para as raízes.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
3\cos(x)-e^{-0.4x}=0
usando os métodos da Bisseção, de Newton e das Secantes com tolerância \varepsilon=0{,}1. Também pede para localizar graficamente uma vizinhança (intervalo) onde cada raiz esteja.
Informações dadas:
  • A função a resolver é f(x)=3\cos(x)-e^{-0.4x}.
  • A tolerância pedida é \varepsilon=0{,}1. Vou usar essa \varepsilon como critério de parada em termos de diferença entre aproximações sucessivas em x (ou equivalente para a bisseção: reduzir o intervalo até que sua largura seja \le 0{,}1).
  • Pedem três métodos: Bisseção, Newton e Secantes — irei aplicar cada um às mesmas vizinhanças encontradas graficamente.
O próximo passo é localizar vizinhanças (intervalos) contendo raízes, sem ainda resolver numericamente.

Passo 2

Como localizar graficamente/via sinais (passo-a-passo didático):
  • Para achar vizinhanças de raízes, uso que se f(a) e f(b) têm sinais opostos então existe uma raiz em (a,b) (teorema do valor intermediário).
  • Vou calcular f em pontos estratégicos (valores múltiplos de \pi/2 e alguns pontos próximos) para ver onde há mudança de sinal.
Cálculos de amostra:
f(0)=3\cos(0)-e^{0}=3\cdot1-1=2>0.
f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=3\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)-e^{-0.4\frac{\pi}{2}}=3\cdot0-e^{-0{,}4\cdot1{,}5708}\approx -e^{-0{,}6283}\approx -0{,}533<0.
Como f(0)>0 e f(\tfrac{\pi}{2})<0, existe pelo menos uma raiz em \big(0,\tfrac{\pi}{2}\big). Vou escolher um intervalo prático próximo: \big(1{,}2,\,1{,}4\big) (porque avaliando rapidamente f(1{,}2)>0 e f(1{,}4)<0).
Agora outro trecho:
f\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=3\cos\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)-e^{-0{,}4\cdot\frac{3\pi}{2}}=3\cdot0-e^{-1{,}88496}\approx -0{,}1516<0,
f(2\pi)=3\cos(2\pi)-e^{-0{,}4\cdot2\pi}=3\cdot1-e^{-2{,}51327}\approx 3-0{,}0812\approx 2{,}9188>0.
Como f(\tfrac{3\pi}{2})<0 e f(2\pi)>0, há uma raiz em \big(\tfrac{3\pi}{2},\,2\pi\big), isto é em aproximadamente \big(4{,}712,\,6{,}283\big). Para biseção e iterações posteriores vou refinar esse intervalo, mas já o tenho como vizinhança inicial para a segunda raiz.
Resumo das vizinhanças encontradas (graficamente/por sinais):
  • Raiz 1: \big(1{,}2,\,1{,}4\big).
  • Raiz 2: \big(4{,}712389,\,6{,}283185\big) (ou seja \big(\tfrac{3\pi}{2},\,2\pi\big)).
Agora aplico cada método nessas vizinhanças.

Passo 3

Método da Bisseção — teoria curta e critério:
  • A Bisseção usa um intervalo [a,b] com f(a)f(b)<0. Em cada iteração toma m=(a+b)/2 e substitui um dos extremos por m mantendo mudança de sinal. A largura do intervalo cai pela metade a cada iteração.
  • Critério de parada que uso: parar quando a largura do intervalo b-a\le 0{,}1 (equivalente a erro em x menor que \varepsilon).
  • Vou aplicar com as vizinhanças do Passo 2.
Bisseção para a Raiz 1, intervalo inicial [1{,}2,\,1{,}4]:
  • a=1{,}2,\; b=1{,}4, largura =0{,}2.
  • Mídia m=(1{,}2+1{,}4)/2=1{,}3.
  • Avalio f(1{,}3). (Cálculos usados antes: \cos(1{,}3)\approx0{,}267238, e^{-0{,}4\cdot1{,}3}=e^{-0{,}52}\approx0{,}59452.)
f(1{,}3)=3\cdot0{,}267238-0{,}59452\approx0{,}801714-0{,}59452\approx0{,}20719>0.
Como f(1{,}3)>0 e f(1{,}4)<0, o novo intervalo é [1{,}3,\,1{,}4] com largura 0{,}1. A largura já é \le 0{,}1, portanto paro. A aproximação pela bisseção (ponto médio do último intervalo) é
x_{\text{bis1}}\approx 1{,}3.
Bisseção para a Raiz 2, intervalo inicial \big(4{,}712389,\,6{,}283185\big):
  • a_0=4{,}712389,\; b_0=6{,}283185, largura =1{,}570796.
    Iterações (calculei alguns pontos escolhendo mídias que coincidem com ângulos notáveis):
  1. m_1=(a_0+b_0)/2=5{,}497787 (que é 7\pi/4): \cos(m_1)=\tfrac{\sqrt2}{2}\approx0{,}707107.
f(m_1)=3\cdot0{,}707107-e^{-0{,}4\cdot5{,}497787}\approx2{,}12132-0{,}1106\approx2{,}0107>0.
Sinal oposto em a_0, então novo intervalo [4{,}712389,\,5{,}497787] (largura \approx0{,}785398).
  1. m_2=(4{,}712389+5{,}497787)/2=5{,}105088. Observação trigonométrica: 5{,}105088=2\pi-1{,}178097 e \cos(1{,}178097)=0{,}382683.
f(m_2)\approx3\cdot0{,}382683-e^{-0{,}4\cdot5{,}105088}\approx1{,}14805-0{,}1306\approx1{,}01745>0.
Novo intervalo [4{,}712389,\,5{,}105088] (largura \approx0{,}392699).
  1. m_3=(4{,}712389+5{,}105088)/2=4{,}908739. Aqui \cos corresponde a \cos(2\pi-1{,}374447)=\cos(1{,}374447)\approx0{,}19509.
f(m_3)\approx3\cdot0{,}19509-e^{-0{,}4\cdot4{,}908739}\approx0{,}58527-0{,}1405\approx0{,}44477>0.
Novo intervalo [4{,}712389,\,4{,}908739] (largura \approx0{,}19635).
  1. m_4=(4{,}712389+4{,}908739)/2=4{,}810564. Estimo \cos(4{,}810564)\approx0{,}0995.
f(m_4)\approx3\cdot0{,}0995-e^{-0{,}4\cdot4{,}810564}\approx0{,}2985-0{,}1442\approx0{,}1543>0.
Novo intervalo [4{,}712389,\,4{,}810564] (largura \approx0{,}098175\le 0{,}1). Paro.
A aproximação pela bisseção (ponto médio do último intervalo) é
x_{\text{bis2}}\approx\frac{4{,}712389+4{,}810564}{2}\approx 4{,}761476.

Passo 4

Método de Newton — teoria curta e fórmula:
  • Newton atualiza pela fórmula
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
  • Aqui f(x)=3\cos(x)-e^{-0.4x} e, derivando,
f'(x)=-3\sin(x)+0{,}4e^{-0.4x}.
  • Critério de parada: paro quando |x_{n+1}-x_n|<0{,}1 (o \varepsilon pedido).
Newton para a Raiz 1 — escolho x_0=1{,}3 (meio do intervalo de bisseção):
  • Avaliações já feitas: f(1{,}3)\approx0{,}20719.
  • Calcule f'(1{,}3): \sin(1{,}3)\approx0{,}963558, e^{-0{,}4\cdot1{,}3}\approx0{,}59452.
f'(1{,}3)=-3\cdot0{,}963558+0{,}4\cdot0{,}59452\approx -2{,}89067+0{,}23781\approx -2{,}65286.
  • Correção:
\Delta x=\frac{f(1{,}3)}{f'(1{,}3)}\approx\frac{0{,}20719}{-2{,}65286}\approx -0{,}07815.
  • Então
x_1=1{,}3-\Delta x\approx 1{,}3-(-0{,}07815)=1{,}37815.
A variação |x_1-x_0|\approx0{,}07815<0{,}1, portanto satisfeito o critério. Aproximação por Newton:
x_{\text{New1}}\approx 1{,}37815.
Newton para a Raiz 2 — escolho x_0=4{,}76 (próximo ao resultado da bisseção):
  • Avalio f(4{,}76). Usei \cos(4{,}76)\approx0{,}0478 e e^{-0{,}4\cdot4{,}76}\approx0{,}1489:
f(4{,}76)\approx3\cdot0{,}0478-0{,}1489\approx0{,}1434-0{,}1489\approx -0{,}0055.
  • Derivada: \sin(4{,}76)\approx -0{,}9989 então
f'(4{,}76)\approx -3\cdot(-0{,}9989)+0{,}4\cdot0{,}1489\approx 2{,}9967+0{,}0596\approx 3{,}0563.
  • Correção:
\Delta x=\frac{f(4{,}76)}{f'(4{,}76)}\approx\frac{-0{,}0055}{3{,}0563}\approx -0{,}0018.
  • Atualização:
x_1=4{,}76-\Delta x\approx 4{,}7618.
Aqui |x_1-x_0|\approx0{,}0018<0{,}1, critério satisfeito. Aproximação por Newton:
x_{\text{New2}}\approx 4{,}7618.

Passo 5

Método das Secantes — teoria curta e fórmula:
  • A Secante aproxima a derivada por diferença finita e utiliza:
x_{n+1}=x_n-\;f(x_n)\,\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.
  • Critério de parada: |x_{n+1}-x_n|<0{,}1.
Secantes para a Raiz 1 — tomo x_{-1}=1{,}2 e x_0=1{,}4:
  • Já calculei f(1{,}2)\approx 0{,}46829 e f(1{,}4)\approx -0{,}0613.
  • Uma iteração:
x_1 = 1{,}4 - (-0{,}0613)\frac{1{,}4-1{,}2}{-0{,}0613-0{,}46829} =1{,}4 - \frac{-0{,}0613\cdot0{,}2}{-0{,}52959}\approx 1{,}37684.
A variação |x_1-x_0|\approx0{,}02316<0{,}1, então paro. Aproximação pela secante:
x_{\text{Sec1}}\approx 1{,}37684.
Secantes para a Raiz 2 — tomo x_{-1}=4{,}712389 (onde f\approx -0{,}1516) e x_0=4{,}908739 (onde f\approx 0{,}44477):
  • Primeira iteração:
x_1 = 4{,}908739 - 0{,}44477\frac{4{,}908739-4{,}712389}{0{,}44477-(-0{,}1516)} \approx 4{,}908739 - \frac{0{,}44477\cdot0{,}19635}{0{,}59637}\approx 4{,}76238.
Aqui |x_1-x_0|\approx0{,}14636>0{,}1, ainda não satisfeito, então faço mais uma iteração usando os dois últimos pontos x_0=4{,}908739 e x_1=4{,}76238. Preciso de f(4{,}76238). Estimei:
f(4{,}76238)\approx 3\cos(4{,}76238)-e^{-0{,}4\cdot4{,}76238}\approx 0{,}001.
  • Segunda iteração:
x_2 = 4{,}76238 - 0{,}001\frac{4{,}76238-4{,}908739}{0{,}001-0{,}44477} \approx 4{,}76238 - \frac{0{,}001\cdot(-0{,}146359)}{-0{,}44377}\approx 4{,}76205.
Agora |x_2-x_1|\approx0{,}00033<0{,}1 e paro. Aproximação pela secante:
x_{\text{Sec2}}\approx 4{,}76205.

Passo 6

Comentário comparativo e interpretação (motivação e dica para prova, em tom amigável):
  • Todos os métodos deram aproximações muito próximas entre si para cada raiz; com \varepsilon=0{,}1 bastou poucas iterações porque a função não é “mal comportada” nesses intervalos.
  • Bisseção é sempre segura (garante existência e converge linearmente), Newton é rápido quando a derivada não é pequena e o chute inicial é razoável (converge quadrática perto da raiz), secante é uma boa alternativa quando não se quer calcular f' (converge super-linearmente).
  • Na prova: escolha vizinhanças verificando sinais em pontos múltiplos de \pi/2 (onde \cos vale 0, \pm1), isso facilita localizar raízes de funções com \cos. Depois escolha critérios de parada claros (o enunciado deu \varepsilon) e anote o número de iterações.
Força aí — você já tem os passos e valores que precisa aplicar rapidamente na prova. Vamos agora ao resumo final com os valores encontrados.

Resposta

Raiz 1 (intervalo (1{,}2,1{,}4)):
Bisseção: x\approx 1{,}3
Newton: x\approx 1{,}37815
Secantes: x\approx 1{,}37684
Raiz 2 (intervalo (4{,}712389,6{,}283185)):
Bisseção: x\approx 4{,}761476
Newton: x\approx 4{,}7618
Secantes: x\approx 4{,}76205

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