Usando os métodos da Bisseção, de Newton e das Secantes, resolva a equação
e
. Localize graficamente uma vizinhança para as raízes.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
usando os métodos da Bisseção, de Newton e das Secantes com tolerância
. Também pede para localizar graficamente uma vizinhança (intervalo) onde cada raiz esteja.
Informações dadas:
- A função a resolver é
. - A tolerância pedida é
. Vou usar essa como critério de parada em termos de diferença entre aproximações sucessivas em (ou equivalente para a bisseção: reduzir o intervalo até que sua largura seja ). - Pedem três métodos: Bisseção, Newton e Secantes — irei aplicar cada um às mesmas vizinhanças encontradas graficamente.
O próximo passo é localizar vizinhanças (intervalos) contendo raízes, sem ainda resolver numericamente.
Passo 2
Como localizar graficamente/via sinais (passo-a-passo didático):
- Para achar vizinhanças de raízes, uso que se
e têm sinais opostos então existe uma raiz em (teorema do valor intermediário). - Vou calcular
em pontos estratégicos (valores múltiplos de e alguns pontos próximos) para ver onde há mudança de sinal.
Cálculos de amostra:
Como
e
, existe pelo menos uma raiz em
. Vou escolher um intervalo prático próximo:
(porque avaliando rapidamente
e
).
Agora outro trecho:
Como
e
, há uma raiz em
, isto é em aproximadamente
. Para biseção e iterações posteriores vou refinar esse intervalo, mas já o tenho como vizinhança inicial para a segunda raiz.
Resumo das vizinhanças encontradas (graficamente/por sinais):
- Raiz 1:
. - Raiz 2:
(ou seja ).
Agora aplico cada método nessas vizinhanças.
Passo 3
Método da Bisseção — teoria curta e critério:
- A Bisseção usa um intervalo
com . Em cada iteração toma e substitui um dos extremos por mantendo mudança de sinal. A largura do intervalo cai pela metade a cada iteração. - Critério de parada que uso: parar quando a largura do intervalo
(equivalente a erro em menor que ). - Vou aplicar com as vizinhanças do Passo 2.
Bisseção para a Raiz 1, intervalo inicial
:
-
, largura . - Mídia
. - Avalio
. (Cálculos usados antes: , .)
Como
e
, o novo intervalo é
com largura
. A largura já é
, portanto paro. A aproximação pela bisseção (ponto médio do último intervalo) é
Bisseção para a Raiz 2, intervalo inicial
:
-
, largura .
Iterações (calculei alguns pontos escolhendo mídias que coincidem com ângulos notáveis):
-
(que é ): .
Sinal oposto em
, então novo intervalo
(largura
).
-
. Observação trigonométrica: e .
Novo intervalo
(largura
).
-
. Aqui corresponde a .
Novo intervalo
(largura
).
-
. Estimo .
Novo intervalo
(largura
). Paro.
A aproximação pela bisseção (ponto médio do último intervalo) é
Passo 4
Método de Newton — teoria curta e fórmula:
- Newton atualiza pela fórmula
- Aqui
e, derivando,
- Critério de parada: paro quando
(o pedido).
Newton para a Raiz 1 — escolho
(meio do intervalo de bisseção):
- Avaliações já feitas:
. - Calcule
: , .
- Correção:
- Então
A variação
, portanto satisfeito o critério. Aproximação por Newton:
Newton para a Raiz 2 — escolho
(próximo ao resultado da bisseção):
- Avalio
. Usei e :
- Derivada:
então
- Correção:
- Atualização:
Aqui
, critério satisfeito. Aproximação por Newton:
Passo 5
Método das Secantes — teoria curta e fórmula:
- A Secante aproxima a derivada por diferença finita e utiliza:
- Critério de parada:
.
Secantes para a Raiz 1 — tomo
e
:
- Já calculei
e . - Uma iteração:
A variação
, então paro. Aproximação pela secante:
Secantes para a Raiz 2 — tomo
(onde
) e
(onde
):
- Primeira iteração:
Aqui
, ainda não satisfeito, então faço mais uma iteração usando os dois últimos pontos
e
. Preciso de
. Estimei:
- Segunda iteração:
Agora
e paro. Aproximação pela secante:
Passo 6
Comentário comparativo e interpretação (motivação e dica para prova, em tom amigável):
- Todos os métodos deram aproximações muito próximas entre si para cada raiz; com
bastou poucas iterações porque a função não é “mal comportada” nesses intervalos. - Bisseção é sempre segura (garante existência e converge linearmente), Newton é rápido quando a derivada não é pequena e o chute inicial é razoável (converge quadrática perto da raiz), secante é uma boa alternativa quando não se quer calcular
(converge super-linearmente). - Na prova: escolha vizinhanças verificando sinais em pontos múltiplos de
(onde vale 0, ), isso facilita localizar raízes de funções com . Depois escolha critérios de parada claros (o enunciado deu ) e anote o número de iterações.
Força aí — você já tem os passos e valores que precisa aplicar rapidamente na prova. Vamos agora ao resumo final com os valores encontrados.
Resposta
Raiz 1 (intervalo
):
Bisseção:
Newton:
Secantes:
Bisseção:
Newton:
Secantes:
Raiz 2 (intervalo
):
Bisseção:
Newton:
Secantes:
Bisseção:
Newton:
Secantes: