Considere a função 2 pi-periódica f: R R tal que:
f(x)=l 1, se 0 <= x <= pi -1, se -pi <= x<0
cujos coeficientes de Fourier foram calculados no Exemplo 4.1.1.
(a) determine PN(x) de modo que o erro quadrático seja mínimo;
(b) determine o menor inteiro N para o qual E(PN ; f) <= 0.26;
(c) usando a identidade de Parseval (4.15), deduza que:
sumn=1^infty 1(2 n-1)^2=pi^28

Passo 1

O enunciado dá a função
que é o “square wave” com média zero. O conteúdo é projeção ortogonal em séries de Fourier, ou seja, em cada grau de liberdade e para minimizar o erro quadrático. Vamos precisar dos coeficientes
calculados no Exemplo 4.1.1.

Passo 2

Para séries de Fourier em [-pi,pi] temos
a0=1piintegral-pi^pif(x),dx, an=1piintegral-pi^pif(x)cos(nx),dx, bn=1piintegral-pi^pif(x)sin(nx),dx
Como f é ímpar em torno de x=0 (metade acima de zero, metade abaixo), conclui-se
a0=0, an=0(forall n>=1),
e, integrando só em [0,pi] e [-pi,0], obtém-se
bn= dfrac4npi,&n ímpar, 0,&n par í

Passo 3

A melhor aproximação trigonométrica de grau (em sentido quadrático) é a soma parcial
Em nosso caso , logo ficam só as componentes ímpares de seno:

Passo 4

O erro quadrático mínimo é dado pelos coeficientes que não entraram em . Pela ortogonalidade,
Agrupando em termos de tal que , escrevemos

Passo 5

Queremos o menor inteiro N tal que E(PN;f)<=0,26. Note que se N for par inclui os mesmos termos de N-1, pois bn=0 para n par; basta testar N=1,3,5,dots.
  • Para N=1 fica só o termo n=1, erro
    E=16pi^2l(tfracpi^28-1r)approx0,38>0,26
  • Para N=3 entram n=1,3 e o erro é E=16pi^2l(pi^28-1-13^2r) =16pi^2l(pi^28-1-tfrac19r) approx0,1989<0,26
Logo o menor inteiro que funciona é
boxedN=3

Passo 6

Para (c), use a identidade de Parseval na forma
1piintegral-pi^pif(x)^2,dx =a0^22+sumn=1^inftyl(an^2+bn^2r)
Aqui f^2(x)=1 quase em todo lugar, então
1piintegral-pi^pi1,dx =2 =sumn=1^inftybn^2 =sumímpar n16pi^2,n^2 =16pi^2sumk=1^infty1(2k-1)^2 í
Rearranjando, obtemos
sumk=1^infty1(2k-1)^2 =pi^28

Resposta

(a)
(b)
(c)

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