cujos coeficientes de Fourier foram calculados no Exemplo 4.1.1.
(a) determine PN(x) de modo que o erro quadrático seja mínimo;
(b) determine o menor inteiro N para o qual E(PN ; f) <= 0.26;
(c) usando a identidade de Parseval (4.15), deduza que:
sumn=1^infty 1(2 n-1)^2=pi^28
Passo 1
O enunciado dá a função
que é o “square wave” com média zero. O conteúdo é projeção ortogonal em séries de Fourier, ou seja, em cada grau de liberdade e para minimizar o erro quadrático. Vamos precisar dos coeficientes
Como f é ímpar em torno de x=0 (metade acima de zero, metade abaixo), conclui-se
a0=0, an=0(forall n>=1),
e, integrando só em [0,pi] e [-pi,0], obtém-se
bn= dfrac4npi,&n ímpar, 0,&n par í
Passo 3
A melhor aproximação trigonométrica de grau (em sentido quadrático) é a soma parcial
Em nosso caso , logo ficam só as componentes ímpares de seno:
Passo 4
O erro quadrático mínimo é dado pelos coeficientes que não entraram em . Pela ortogonalidade,
Agrupando em termos de tal que , escrevemos
Passo 5
Queremos o menor inteiro N tal que E(PN;f)<=0,26. Note que se N for par inclui os mesmos termos de N-1, pois bn=0 para n par; basta testar N=1,3,5,dots.
Para N=1 fica só o termo n=1, erro E=16pi^2l(tfracpi^28-1r)approx0,38>0,26
Para N=3 entram n=1,3 e o erro é E=16pi^2l(pi^28-1-13^2r) =16pi^2l(pi^28-1-tfrac19r) approx0,1989<0,26