Q. 7 (1,5 (extra)). Determine o(s) ponto(s) em que a reta tangente à curva
é horizontal.
Sabemos que a reta tangente é horizontal nos pontos em que
. Derivando implicitamente a equação que descreve
, temos que:
Se
, então
. (**). Substituindo em
, temos que:
Substituindo estes valores em (**), obtemos:
e
. Portanto, a reta tangente é horizontal nos pontos
e
, pois satisfazem a condição (*).
Passo 1
O enunciado nos dá a curva
definida por
e pede os pontos em que a reta tangente é horizontal, ou seja onde
. O conteúdo necessário é diferenciação implícita para obter
.
Passo 2
Derivamos ambos os lados da equação em relação a
, lembrando que
é função de
:
- Derivada de é
- Derivada de é
(regra do produto)
- Derivada de é
- Derivada de é
- Derivada de é
Logo, obtemos
- Derivada de
- Derivada de
- Derivada de
- Derivada de
- Derivada de
Logo, obtemos
Passo 3
Agrupando os termos que envolvem
, temos
e portanto
Passo 4
Para que a tangente seja horizontal, precisamos de
, o que exige que o numerador seja zero (e o denominador diferente de zero):
Substituímos
na equação original de
:
Passo 5
Para cada valor de
achado, determinamos
e verificamos
:
- Se então
e
.
- Se então
e
.
- Se
- Se
Resposta
Os pontos em que a reta tangente à curva é horizontal são