Q. 7 (1,5 (extra)). Determine o(s) ponto(s) em que a reta tangente à curva C: x^2+x y+y^2-3 y=9 é horizontal.
Sabemos que a reta tangente é horizontal nos pontos em que mt=y^prime=0. Derivando implicitamente a equação que descreve C, temos que:
2 x+x y^prime+y+2 y y^prime-3 y=0 Rightarrow y^prime=-2 x-yx+2 y-3
Se x+2 y-3 neq 0, então y^prime=0 Leftrightarrow y=-2 x. (**). Substituindo em C, temos que:
3 x^2+6 x-9=0 Rightarrow x^2+2 x-3=0 Rightarrow x=3 ou x=1
Substituindo estes valores em (**), obtemos: P1(-3 ; 6) e P2(1 ;-2). Portanto, a reta tangente é horizontal nos pontos P1 e P2, pois satisfazem a condição (*).

Passo 1

O enunciado nos dá a curva C definida por
x^2 + x,y + y^2 - 3y = 9
e pede os pontos em que a reta tangente é horizontal, ou seja onde y' = 0. O conteúdo necessário é diferenciação implícita para obter y'.

Passo 2

Derivamos ambos os lados da equação em relação a x, lembrando que y é função de x:
- Derivada de x^2 é 2x
- Derivada de x,y é x,y' + y (regra do produto)
- Derivada de y^2 é 2y,y'
- Derivada de -3y é -3,y'
- Derivada de 9 é 0
Logo, obtemos
2x + l(x,y' + yr) + 2y,y' - 3,y' = 0

Passo 3

Agrupando os termos que envolvem y', temos
y'l(x + 2y - 3r) + l(2x + yr) = 0
e portanto
y' = -,(2x + y)x + 2y - 3

Passo 4

Para que a tangente seja horizontal, precisamos de y'=0, o que exige que o numerador seja zero (e o denominador diferente de zero):
2x + y = 0 Longrightarrow y = -2x
Substituímos y=-2x na equação original de C:
x^2 + x(-2x) +(-2x)^2 - 3(-2x) - 9 = 0
x^2 - 2x^2 + 4x^2 + 6x - 9 = 0 Longrightarrow 3x^2 + 6x - 9 = 0
x^2 + 2x - 3 = 0 Longrightarrow x = 1 ou x = -3

Passo 5

Para cada valor de x achado, determinamos y=-2x e verificamos x + 2y - 3 neq 0:
- Se x = 1 então y = -2 e 1 + 2(-2) - 3 = -6 neq 0.
- Se x = -3 então y = 6 e -3 + 2cdot6 - 3 = 6 neq 0.

Resposta

Os pontos em que a reta tangente à curva é horizontal são
(-3,,6) e (1,,-2)

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