Exercício 10. (D. 3.5, ex.3.1) Seja f: R C uma função linear tal que f e f^prime pertencem a L^1(R) e tal que lim x pm infty f(x)=0. Mostre que F(f^prime)(xi)=i xi F(f)(xi). (Dica: Integre por partes)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a transformada de Fourier de f' é ixi vezes a transformada de Fourier de f. O conteúdo aqui é a propriedade da derivada na transformada de Fourier. Para isso, vamos usar a definição de F e integrar por partes, aproveitando que f,f'in L^1(R) e que limxtopminftyf(x)=0.

Passo 2

Pela definição, para cada xiinR,
F(f')(xi) = integral-infty^infty f'(x),e^-ixi x,dx

Passo 3

Aplicando integração por partes, tomamos
u = e^-ixi x,
dv = f'(x),dx,
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du = -ixi,e^-ixi x,dx
e
v = f(x).
Então
integral-infty^infty f'(x),e^-ixi x,dx = f(x)e^-ixi x|-infty^infty - integral-infty^infty f(x),(-ixi,e^-ixi x),dx

Passo 4

Como limxtopminftyf(x)=0, o termo de fronteira
f(x)e^-ixi xgr|-infty^infty
é zero. Logo sobra
F(f')(xi) = ixiintegral-infty^infty f(x),e^-ixi x,dx = ixi,F(f)(xi)

Resposta

F(f')(xi)=ixi,F(f)(xi)

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