Considere a função real de duas variáveis reais
dada por
(b) Determine o conjunto imagem de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede pra gente encontrar o conjunto imagem da função $ f(x, y) = \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}} $. Aqui, vamos trabalhar com funções de duas variáveis e entender quais valores $ f(x, y) $ pode assumir. Para resolver isso, vamos precisar lembrar que dentro da raiz quadrada tem que ser um número não negativo.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que o que está dentro da raiz seja maior ou igual a zero, porque a raiz quadrada de um número negativo não é real. Então, temos:
Isso significa que:
Passo 3
A expressão $ x^{2} + y^{2} \leq 4 $ representa um círculo com raio 2 no plano xy. Ou seja, todos os pontos (x, y) que estão dentro ou na borda desse círculo satisfazem a condição para que a função $ f(x, y) $ seja real.
Passo 4
Agora, vamos pensar nos valores que a função $ f(x, y) $ pode assumir. Como $ f(x, y) = \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}} $, o menor valor possível ocorre quando $ x^{2} + y^{2} $ é o maior possível dentro do círculo, que é 4. Então:
O maior valor ocorre quando $ x^{2} + y^{2} $ é mínimo, ou seja, 0:
Passo 5
Portanto, os valores que $ f(x, y) $ pode assumir vão de 0 até 2, incluindo esses extremos.
Resposta
O conjunto imagem de $ f $ é o intervalo
.