Considere a função real de duas variáveis reais f dada por
f(x, y)=raiz4-x^2-y^2
(b) Determine o conjunto imagem de f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede pra gente encontrar o conjunto imagem da função $ f(x, y) = \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}} $. Aqui, vamos trabalhar com funções de duas variáveis e entender quais valores $ f(x, y) $ pode assumir. Para resolver isso, vamos precisar lembrar que dentro da raiz quadrada tem que ser um número não negativo.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que o que está dentro da raiz seja maior ou igual a zero, porque a raiz quadrada de um número negativo não é real. Então, temos:
4 - x^2 - y^2 >= 0
Isso significa que:
x^2 + y^2 <= 4

Passo 3

A expressão $ x^{2} + y^{2} \leq 4 $ representa um círculo com raio 2 no plano xy. Ou seja, todos os pontos (x, y) que estão dentro ou na borda desse círculo satisfazem a condição para que a função $ f(x, y) $ seja real.

Passo 4

Agora, vamos pensar nos valores que a função $ f(x, y) $ pode assumir. Como $ f(x, y) = \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}} $, o menor valor possível ocorre quando $ x^{2} + y^{2} $ é o maior possível dentro do círculo, que é 4. Então:
f(x, y)
O maior valor ocorre quando $ x^{2} + y^{2} $ é mínimo, ou seja, 0:
f(x, y) = raiz4 - x^2 - y^2

Passo 5

Portanto, os valores que $ f(x, y) $ pode assumir vão de 0 até 2, incluindo esses extremos.

Resposta

O conjunto imagem de $ f $ é o intervalo f .

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