Exercício 1 - Escreva a definição de:
© Gráfico de uma função real de
variáveis reais,
e
.
© Gráfico de uma função real de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para escrever a definição de “Gráfico de uma função real de $ n $ variáveis reais”, onde $ n $ é um número natural maior ou igual a 2. Estamos lidando com funções de várias variáveis, então vamos precisar entender como representar essas funções no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de $ n $ variáveis. É uma regra que associa a cada combinação de $ n $ números reais (as variáveis) um único número real. Por exemplo, se $ n = 2 $, temos funções como $ f(x, y) = x + y $.
Passo 3
Agora, o gráfico dessa função é o conjunto de todos os pontos que satisfazem a relação $ z = f(x_1, x_2, \dots, x_n) $, onde cada $ x_i $ é uma das variáveis da função. Esse gráfico está em um espaço de $ n + 1 $ dimensões, já que temos $ n $ variáveis de entrada e uma saída.
Passo 4
Para visualizar isso, pense em uma função de duas variáveis, $ f(x, y) $. O gráfico dessa função é uma superfície no espaço tridimensional, onde cada ponto
satisfaz $ z = f(x, y) $.
Resposta
O gráfico de uma função real de $ n $ variáveis reais, onde $ n \in \mathbb{N} $ e $ n \geq 2 $, é o conjunto de todos os pontos
no espaço $ \mathbb{R}^{n+1} $ que satisfazem a equação $ y = f(x_1, x_2, \dots, x_n) $. Em outras palavras, é o conjunto de todos os valores
tais que $ y $ é a imagem da função $ f $ aplicada às variáveis $ x_1, x_2, \dots, x_n $.