Considere a função real de duas variáveis reais
dada por
(d) Faça um esboço do gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para fazer um esboço do gráfico da função $ f(x, y) = \sqrt{4 - x^2 - y^2} $. Isso está dentro do conteúdo de Funções de Duas Variáveis e Superfícies no Espaço 3D. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar graficamente funções de duas variáveis e identificar que tipo de superfície essa função descreve.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função $ f(x, y) = \sqrt{4 - x^2 - y^2} $. O que isso significa? Bem, para qualquer ponto
no plano, a função nos dá um valor $ z $ que é a raiz quadrada de $ 4 - x^2 - y^2 $. Isso já nos dá uma dica de que estamos lidando com uma parte de uma esfera.
Passo 3
Vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado para facilitar a visualização:
Rearranjando, temos:
Essa é a fórmula geral de uma esfera com raio 2 centrada na origem
.
Passo 4
No entanto, lembre-se que na nossa função original $ z = \sqrt{4 - x^2 - y^2} $, o $ z $ é a raiz quadrada, o que significa que estamos considerando apenas os valores positivos de $ z $. Portanto, o gráfico dessa função é a metade superior de uma esfera de raio 2.
Passo 5
Para esboçar, imagine uma esfera com raio 2 no espaço 3D, mas vamos desenhar só a parte de cima dessa esfera. No plano $ xy $, o círculo de raio 2 representa a base dessa metade de esfera. Conforme você se afasta do centro no plano $ xy $, o valor de $ z $ aumenta até atingir o ponto mais alto da esfera, que é $ z = 2 $.
Resposta
O gráfico da função $ f(x, y) = \sqrt{4 - x^2 - y^2} $ é a metade superior de uma esfera com raio 2, centrada na origem. Para esboçar, desenhe a parte de cima de uma esfera de raio 2 no espaço tridimensional, limitando-se aos valores positivos de $ z $.