Considere a função f: D \rightarrow \mathbb{R} dada por
f(x, y)=y^{2} \ln (x)-y
(a) Descreva D.
D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x>0\right\} é o semi-plano)x>0$
(b) Escreva a equação cartesiana do plano tangente ao gráfico de z=f(x, y) no ponto ( 1,1,-1 ) é
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{y^{2}}{x} e \frac{\partial f}{\partial x}(1,1)=1, \frac{\partial f}{\partial y}=2 y \ln (x)-1 e \frac{\partial f}{\partial y}(1,1)=-1. Logo, a equação do plano tangente é
(x-1)-(y-1)-(z+1)=0 \quad \text { ou } \quad x-y-z=1
(c) Calcule a derivada direcional de f no ponto P=(1,-2) na direção do vetor \vec{v}=(1,1)
Com as derivadas parciais calculadas no item (b) temos \overrightarrow{\nabla f}(1,-2)=(4,-1) e o versor de \vec{v} é \vec{u}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right). Então
D_{\vec{v}} f(P)=\vec{\nabla} f(P) \cdot \vec{u}=(4,-1) \cdot\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{4}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=y^{2}\ln(x)-y
e pede três coisas:
(a) descrever o domínio D,
(b) encontrar a equação do plano tangente ao gráfico de z=f(x,y) no ponto (1,1,-1),
(c) calcular a derivada direcional de f no ponto P=(1,-2) na direção do vetor \vec v=(1,1).

Passo 2

Para existir \ln(x) precisamos de x>0. Não há restrição sobre y. Logo
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:x>0\},
isto é, o semiplano de todas as pontos com abscissa positiva.

Passo 3

O plano tangente a z=f(x,y) em (x_{0},y_{0},z_{0}) satisfaz
z-z_{0}=f_{x}(x_{0},y_{0})\,(x-x_{0})+f_{y}(x_{0},y_{0})\,(y-y_{0}).
Calculamos as derivadas parciais:
f_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{2}\ln(x)-y\bigr) =\frac{y^{2}}{x}, \quad f_{y}(x,y)=2y\ln(x)-1.
Em (x_{0},y_{0})=(1,1) temos
f_{x}(1,1)=\frac{1^{2}}{1}=1, \quad f_{y}(1,1)=2\cdot1\cdot\ln(1)-1=-1,
e z_{0}=f(1,1)=1^{2}\ln(1)-1=-1. Substituindo no plano:
z+1=1\,(x-1)-1\,(y-1) \quad\Longrightarrow\quad x - y - z =1.

Passo 4

A derivada direcional em P=(1,-2) na direção \vec v=(1,1) é
D_{\vec v}f(P)=\nabla f(P)\cdot\vec u,
onde \vec u=\vec v/\|\vec v\| é o versor. Primeiro
\nabla f(x,y)=\bigl(f_{x}(x,y),f_{y}(x,y)\bigr) =\Bigl(\frac{y^{2}}{x},\,2y\ln(x)-1\Bigr).
Em P=(1,-2)
\nabla f(1,-2)=\bigl(4,\,-1\bigr), \quad \|\vec v\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}, \quad \vec u=\Bigl(\tfrac1{\sqrt2},\tfrac1{\sqrt2}\Bigr).
Logo
D_{\vec v}f(P) =(4,-1)\cdot\Bigl(\tfrac1{\sqrt2},\tfrac1{\sqrt2}\Bigr) =\frac{4-1}{\sqrt2} =\frac{3}{\sqrt2}.

Resposta

(a) D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:x>0\}.
(b) x - y - z =1.
(c) \displaystyle \frac{3}{\sqrt2}.

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