Considere a função f: D \rightarrow \mathbb{R} dada por
f(x, y)=y^{2} \ln (x)-y
(a) Descreva D. D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x>0\right\} é o semi-plano)x>0$
(b) Escreva a equação cartesiana do plano tangente ao gráfico de z=f(x, y) no ponto ( 1,1,-1 ) é \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{y^{2}}{x} e \frac{\partial f}{\partial x}(1,1)=1, \frac{\partial f}{\partial y}=2 y \ln (x)-1 e \frac{\partial f}{\partial y}(1,1)=-1. Logo, a equação do plano tangente é
(x-1)-(y-1)-(z+1)=0 \quad \text { ou } \quad x-y-z=1
(c) Calcule a derivada direcional de f no ponto P=(1,-2) na direção do vetor \vec{v}=(1,1)
Com as derivadas parciais calculadas no item (b) temos \overrightarrow{\nabla f}(1,-2)=(4,-1) e o versor de \vec{v} é \vec{u}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right). Então
e pede três coisas:
(a) descrever o domínio D,
(b) encontrar a equação do plano tangente ao gráfico de z=f(x,y) no ponto (1,1,-1),
(c) calcular a derivada direcional de f no ponto P=(1,-2) na direção do vetor \vec v=(1,1).
Passo 2
Para existir \ln(x) precisamos de x>0. Não há restrição sobre y. Logo
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:x>0\},
isto é, o semiplano de todas as pontos com abscissa positiva.
Passo 3
O plano tangente a z=f(x,y) em (x_{0},y_{0},z_{0}) satisfaz