Quais os pontos da curva
que estão mais próximos do ponto
?
Queremos achar o valor mínimo da função distância de
a
com a restrição
pertence à parábola
. Podemos usar o MML para achar o mínimo da função
Conclusão: os pontos da parábola que estão mais próximos do ponto
são
e
Queremos achar o valor mínimo da função distância de
Passo 1
O enunciado pede os pontos da parábola
, que minimizam a distância até
.
Conteúdo: otimização com restrição usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange (MML).
Vamos definir a função a minimizar e a restrição, e depois aplicar o MML.
Conteúdo: otimização com restrição usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange (MML).
Vamos definir a função a minimizar e a restrição, e depois aplicar o MML.
Passo 2
Definimos a função distância ao quadrado porque é mais simples de derivar e tem o mesmo mínimo de
:
e a restrição da parábola é
Passo 3
No MML igualamos
. Primeiro calculamos os gradientes:
Passo 4
Escrevemos o sistema de equações:
Da segunda equação vem ou
ou
.
Passo 5
Caso
:
pela restrição temos
.
Logo e
pela restrição
Logo
Passo 6
Caso
:
da primeira equação
da primeira equação
pela restrição
Assim temos os candidatos
e
Passo 7
Comparando as distâncias,
, os menores valores ocorrem em
e
.
Resposta
Os pontos da parábola mais próximos de
são