Quais os pontos da curva y^{2}=4 x que estão mais próximos do ponto Q=(4,0) ?
Queremos achar o valor mínimo da função distância de P=(x, y) a Q com a restrição P pertence à parábola y^{2}=4 x. Podemos usar o MML para achar o mínimo da função
\begin{gathered} d^{2}(P, Q)=f(x, y)=(x-4)^{2}+y^{2} \quad \text { com a restrição } \quad g(x, y)=4 x-y^{2}=0 \\\ \vec{\nabla} f=(2(x-4), 2 y) \quad \text { e } \quad \vec{\nabla} g=(4,-2 y) \\\\ 2(x-4)=4 \lambda \\\\ 2 y=-2 \lambda y \Rightarrow y=0 \text { ou } \lambda=-1 \\\\ 4 x-y^{2}=0 \\\ y=0 \Rightarrow x=0 \text { e } \lambda=-2 \Rightarrow P_{1}=(0,0) \text { é um candidato e } d\left(P_{1}, Q\right)=4 \\\ \lambda=-1 \Rightarrow x-4=-2 \Rightarrow x=2 \Rightarrow y= \pm 2 \sqrt{2} \Rightarrow P_{2}=(2,2 \sqrt{2}) \text { e } P_{3}=(2,-2 \sqrt{2}) \text { são candidatos } \\\ d\left(P_{2}, Q\right)=d\left(P_{3}, Q\right)=2 \sqrt{3}<4 \end{gathered}çãéã
Conclusão: os pontos da parábola que estão mais próximos do ponto Q são P_{2} e P_{3}

Passo 1

O enunciado pede os pontos da parábola \,y^{2}=4x, que minimizam a distância até Q=(4,0).
Conteúdo: otimização com restrição usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange (MML).
Vamos definir a função a minimizar e a restrição, e depois aplicar o MML.

Passo 2

Definimos a função distância ao quadrado porque é mais simples de derivar e tem o mesmo mínimo de d:
f(x,y) = (x-4)^{2} + y^{2}
e a restrição da parábola é
g(x,y) = 4x - y^{2} = 0.

Passo 3

No MML igualamos \nabla f = \lambda\,\nabla g. Primeiro calculamos os gradientes:
\nabla f = \bigl(2(x-4),\,2y\bigr), \quad \nabla g = \bigl(4,\,-2y\bigr).

Passo 4

Escrevemos o sistema de equações:
2(x-4) = \lambda\cdot 4, \quad 2y = \lambda\cdot(-2y), \quad 4x - y^{2} = 0.
Da segunda equação vem ou y=0 ou \lambda = -1.

Passo 5

Caso y=0:
pela restrição 4x - 0^{2}=0 temos x=0.
Logo P_{1}=(0,0) e
d(P_{1},Q) = \sqrt{(0-4)^{2}+0^{2}} = 4.

Passo 6

Caso \lambda=-1:
da primeira equação
2(x-4)=4(-1)\;\Longrightarrow\;x-4=-2\;\Longrightarrow\;x=2.
pela restrição
y^{2}=4x=8\;\Longrightarrow\;y=\pm2\sqrt{2}.
Assim temos os candidatos
P_{2}=(2,2\sqrt{2}), \quad P_{3}=(2,-2\sqrt{2})
e
d(P_{2},Q)=d(P_{3},Q) =\sqrt{(2-4)^{2}+(2\sqrt{2})^{2}} =\sqrt{4+8} =2\sqrt{3}\approx3{,}46<4.

Passo 7

Comparando as distâncias, 2\sqrt{3}<4, os menores valores ocorrem em P_{2} e P_{3}.

Resposta

Os pontos da parábola mais próximos de Q=(4,0) são
(2,2\sqrt{2}) \quad\text{e}\quad (2,-2\sqrt{2}).

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