Considere a função f(x, y)=x^2+y^2 sobre a região R definida por 0 <= x <= 2 e 0 <= y <= raiz4-x^2, que corresponde à metade de um círculo de raio 2 .
Reescreva a integral utilizando coordenadas polares e calcule o valor da integral.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem a função f(x, y) = x^2 + y^2 e queremos calcular a integral dessa função sobre a região R , que é a metade de um círculo de raio 2, definida por 0 <= x <= 2 e 0 <= y <= raiz4 - x^2 . Para facilitar, vamos mudar as coordenadas cartesianas para coordenadas polares. Isso ajuda bastante quando lidamos com regiões circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto no plano é representado por (r, theta) , onde r é a distância do ponto até a origem e theta é o ângulo em relação ao eixo positivo x . As conversões são:
x = r cos theta y = r sin theta
Além disso, o elemento de área dx,dy em coordenadas cartesianas vira r,dr,dtheta em coordenadas polares.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função f(x, y) em coordenadas polares:
f(x, y) = x^2 + y^2 = (r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 = r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) = r^2 times 1 = r^2
Então, a função simplifica para f(r, theta) = r^2 .

Passo 4

Vamos entender a região R em coordenadas polares. A região é a metade de um círculo de raio 2, onde x vai de 0 a 2 e y de 0 a raiz4 - x^2 . Isso corresponde à parte superior direita do círculo. Em coordenadas polares:
  • r varia de 0 a 2 (o raio do círculo).
  • theta varia de 0 a pi2 radianos (90 graus), já que estamos no primeiro quadrante.

Passo 5

Agora, podemos escrever a integral dupla em coordenadas polares:
integral duplaR f(x, y),dx,dy = integral0^pi2 integral0^2 r^2 times r,dr,dtheta = integral0^pi2 integral0^2 r^3,dr,dtheta
Aqui, multiplicamos r^2 pela parte do elemento de área r , resultando em r^3 .

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a r :
integral0^2 r^3,dr = [ r^44 ]0^2 = 2^44 - 0^44 = 164 = 4

Passo 7

Agora, integramos o resultado em relação a theta :
integral0^pi2 4,dtheta = 4 [ theta ]0^pi2 = 4 ( pi2 - 0 ) = 4 times pi2 = 2pi

Resposta

O valor da integral é 2pi .

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