Considere a função
sobre a região
definida por
e
, que corresponde à metade de um círculo de raio 2 .
Reescreva a integral utilizando coordenadas polares e calcule o valor da integral.
Reescreva a integral utilizando coordenadas polares e calcule o valor da integral.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem a função
e queremos calcular a integral dessa função sobre a região
, que é a metade de um círculo de raio 2, definida por
e
. Para facilitar, vamos mudar as coordenadas cartesianas para coordenadas polares. Isso ajuda bastante quando lidamos com regiões circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto no plano é representado por
, onde
é a distância do ponto até a origem e
é o ângulo em relação ao eixo positivo
. As conversões são:
Além disso, o elemento de área
em coordenadas cartesianas vira
em coordenadas polares.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função
em coordenadas polares:
Então, a função simplifica para
.
Passo 4
Vamos entender a região
em coordenadas polares. A região é a metade de um círculo de raio 2, onde
vai de 0 a 2 e
de 0 a
. Isso corresponde à parte superior direita do círculo. Em coordenadas polares:
-
varia de 0 a 2 (o raio do círculo). -
varia de 0 a radianos (90 graus), já que estamos no primeiro quadrante.
Passo 5
Agora, podemos escrever a integral dupla em coordenadas polares:
Aqui, multiplicamos
pela parte do elemento de área
, resultando em
.
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Passo 7
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Resposta
O valor da integral é
.