Explique como se transforma uma integral dupla de coordenadas cartesianas para coordenadas polares. Em seguida, calcule a integral dupla da função
sobre a região dentro do circulo de raio 1 no primeiro quadrante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com integrais duplas, que são usadas para calcular áreas e volumes em regiões no plano. Aqui, você vai aprender a transformar uma integral dupla de coordenadas cartesianas para coordenadas polares. Depois, vamos calcular a integral da função
sobre a região dentro de um círculo de raio 1 no primeiro quadrante. Para isso, vamos precisar entender a mudança de coordenadas e as fórmulas envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a transformação de coordenadas cartesianas para polares. Nas coordenadas cartesianas, temos
e
, mas nas polares usamos
(a distância da origem) e
(o ângulo com o eixo
). As relações entre elas são:
Além disso, o elemento de área
em coordenadas cartesianas (
) se transforma em
em coordenadas polares. Essa transformação é essencial para facilitar a integração sobre regiões circulares.
Passo 3
Agora, vamos identificar a região de integração. A região está dentro de um círculo de raio 1 no primeiro quadrante. Em coordenadas polares, isso significa que
vai de 0 a 1 (porque o raio do círculo é 1) e
vai de 0 a
(porque estamos no primeiro quadrante, onde os ângulos variam de 0 a 90 graus).
Passo 4
Vamos reescrever a função
em coordenadas polares. Sabemos que
, então:
A integral dupla que queremos calcular fica assim em coordenadas polares:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Aqui, podemos fazer uma substituição para facilitar. Seja
, então
ou
. Os limites de integração em
vão de
a
. Assim, a integral fica:
Integrando
:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral externa em relação a
:
Como a expressão dentro da integral é constante em relação a
, podemos simplificar:
Resposta
A integral dupla da função
sobre a região dentro do círculo de raio 1 no primeiro quadrante é: