Explique como se transforma uma integral dupla de coordenadas cartesianas para coordenadas polares. Em seguida, calcule a integral dupla da função f(x, y)=sen(x^2+y^2)=f(r, theta)=sen(r^2) sobre a região dentro do circulo de raio 1 no primeiro quadrante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com integrais duplas, que são usadas para calcular áreas e volumes em regiões no plano. Aqui, você vai aprender a transformar uma integral dupla de coordenadas cartesianas para coordenadas polares. Depois, vamos calcular a integral da função f(x, y) = sin(x^2 + y^2) sobre a região dentro de um círculo de raio 1 no primeiro quadrante. Para isso, vamos precisar entender a mudança de coordenadas e as fórmulas envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a transformação de coordenadas cartesianas para polares. Nas coordenadas cartesianas, temos x e y , mas nas polares usamos r (a distância da origem) e theta (o ângulo com o eixo x ). As relações entre elas são:
x = r cos(theta)
y = r sin(theta)
Além disso, o elemento de área dA em coordenadas cartesianas ( dx , dy ) se transforma em r , dr , dtheta em coordenadas polares. Essa transformação é essencial para facilitar a integração sobre regiões circulares.

Passo 3

Agora, vamos identificar a região de integração. A região está dentro de um círculo de raio 1 no primeiro quadrante. Em coordenadas polares, isso significa que r vai de 0 a 1 (porque o raio do círculo é 1) e theta vai de 0 a pi2 (porque estamos no primeiro quadrante, onde os ângulos variam de 0 a 90 graus).

Passo 4

Vamos reescrever a função f(x, y) = sin(x^2 + y^2) em coordenadas polares. Sabemos que x^2 + y^2 = r^2 , então:
f(r, theta) = sin(r^2)
A integral dupla que queremos calcular fica assim em coordenadas polares:
integral duplaD sin(r^2) , dA = integral0^pi2 integral0^1 sin(r^2) cdot r , dr , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a r :
integral0^1 sin(r^2) cdot r , dr
Aqui, podemos fazer uma substituição para facilitar. Seja u = r^2 , então du = 2r , dr ou du2 = r , dr . Os limites de integração em u vão de u(0) = 0 a u(1) = 1 . Assim, a integral fica:
integral0^1 sin(u) cdot du2 = 12 integral0^1 sin(u) , du
Integrando sin(u) :
12 [ -cos(u) ]0^1 = 12 ( -cos(1) + cos(0) ) = 12 ( -cos(1) + 1 )

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral externa em relação a theta :
integral0^pi2 12 (1 - cos(1)) , dtheta
Como a expressão dentro da integral é constante em relação a theta , podemos simplificar:
12 (1 - cos(1)) integral0^pi2 dtheta = 12 (1 - cos(1)) [ theta ]0^pi2 = 12 (1 - cos(1)) cdot pi2

Resposta

A integral dupla da função f(x, y) = sin(x^2 + y^2) sobre a região dentro do círculo de raio 1 no primeiro quadrante é:
pi4 (1 - cos(1))

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