Considere a função f(x, y)=x^2+y^2 sobre a região R definida por 0 <= x <= 2 e 0 <= y <= raiz4-x^2, que corresponde à metade de um círculo de raio 2 .
Como fica a integral dupla dessa função utilizando coordenadas cartesianas?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função f(x, y) = x^2 + y^2 e precisa calcular a integral dupla dessa função sobre a região R definida por 0 <= x <= 2 e 0 <= y <= raiz4 - x^2 . A região R é a metade de um círculo de raio 2. Vamos usar coordenadas cartesianas para montar essa integral dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração para x e y . O intervalo para x é de 0 a 2. Para cada valor de x , y varia de 0 até raiz4 - x^2 , que descreve a parte superior da circunferência do círculo de raio 2.

Passo 3

Agora, vamos montar a integral dupla. Em coordenadas cartesianas, a integral dupla de uma função f(x, y) sobre uma região R é dada por:
integrala^b integralc(x)^d(x) f(x, y) , dy , dx
Onde a e b são os limites para x , e c(x) e d(x) são os limites para y em função de x .

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso, substituímos f(x, y) por x^2 + y^2 , a por 0, b por 2, c(x) por 0 e d(x) por raiz4 - x^2 . Então, a integral dupla fica:
integral0^2 integral0^raiz4 - x^2 (x^2 + y^2) , dy , dx

Resposta

A integral dupla em coordenadas cartesianas fica:
integral0^2 integral0^raiz4 - x^2 ( x^2 + y^2 ) , dy , dx

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