Considere a função
sobre a região
definida por
e
, que corresponde à metade de um círculo de raio 2 .
Como fica a integral dupla dessa função utilizando coordenadas cartesianas?
Como fica a integral dupla dessa função utilizando coordenadas cartesianas?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa calcular a integral dupla dessa função sobre a região
definida por
e
. A região
é a metade de um círculo de raio 2. Vamos usar coordenadas cartesianas para montar essa integral dupla.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração para
e
. O intervalo para
é de 0 a 2. Para cada valor de
,
varia de 0 até
, que descreve a parte superior da circunferência do círculo de raio 2.
Passo 3
Agora, vamos montar a integral dupla. Em coordenadas cartesianas, a integral dupla de uma função
sobre uma região
é dada por:
Onde
e
são os limites para
, e
e
são os limites para
em função de
.
Passo 4
Aplicando isso ao nosso caso, substituímos
por
,
por 0,
por 2,
por 0 e
por
. Então, a integral dupla fica:
Resposta
A integral dupla em coordenadas cartesianas fica: