Considere a função de transferência de um filtro analógico
Encontre a aproximação assintótica para
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem um filtro cuja função de transferência é
O que a questão pede é a aproximação assintótica (ou seja, os trechos retos) do módulo e da fase.
Conteúdo: plot de Bode assintótico (magnitude em dB e fase em graus), identificação de polos/zeros, frequências de canto, contribuição de cada termo em ganho e fase, e regras de soma de dB e de fases.
Passo 2
Vamos atacar a magnitude em dB. Primeiro lembre que
Regras rápidas:
- 20log104approx12.04,dB é uma constante.
- Um zero em omegaz=0.1 dá +20 dB/década acima de 0.1 rad/s.
- Um pólo em omegap=2 dá –20 dB/década acima de 2 rad/s.
- Um pólo em zero (termo 1/s) já dá –20 dB/década desde omega=0.
Frequências de canto: omega=0.1 (zero) e omega=2 (pólo).
Para omega<0.1: só o pólo em zero e a constante contam, então a inclinação é –20 dB/década e o ganho em omega=0.1 vale
Para |H|rm dBapprox -13.98 +20log10!l(tfracomega0.1r)|omega=0.1 =6.02;dB: entra o pólo de 2, adiciona –20 dB/década. O valor em omega>2 é 6.02 dB, então
omega=2
Passo 3
Agora a fase. A gente soma as fases de cada termo:
Constante positiva (4) não mexe na fase.
Zero em 0.1 tem fase phiz=arctan!tfracomega0.1. Assintoticamente vai de 0° a +90°, centrando a rampa entre 0.01 e 1 rad/s.
Pólo em zero (termo 1/jomega) dá –90° fixo.
Pólo em 2 tem fase phip=-arctan!tfracomega2, que vai de 0° a –90°, rampa entre 0.2 e 20 rad/s.
Num Bode assintótico simplificado, cada transição é um passo de 0 para +90 ou 0 para –90 em torno da frequência de canto. Assim:
omega<0.1: zero em 0.1 ainda não “abre”, pólo em 2 idem, sobra só –90° do pólo em zero.
0.1: zero já deu +90°, pólo em 2 ainda tá em 0°, soma fica –90+90=0°.
omega>2: zero deu +90°, pólo em 2 levou –90°, pólo em zero dá –90°, total = –90+90–90=–90°.