Considere a função de transferência de um filtro analógico
H(s)=4(s+0.1)s(s+2)
Encontre a aproximação assintótica para |H(j omega)| e ang<= H(j omega)

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um filtro cuja função de transferência é
H(s)=4,(s+0.1)s,(s+2),
O que a questão pede é a aproximação assintótica (ou seja, os trechos retos) do módulo |H(jomega)| e da fase ang<= H(jomega).
Conteúdo: plot de Bode assintótico (magnitude em dB e fase em graus), identificação de polos/zeros, frequências de canto, contribuição de cada termo em ganho e fase, e regras de soma de dB e de fases.

Passo 2

Vamos atacar a magnitude em dB. Primeiro lembre que
|H(jomega)|rm dB=20log104+20log10l|!jomega+0.1r|-20log10|!jomega|-20log10l|!jomega+2r|
Regras rápidas:
- 20log104approx12.04,dB é uma constante.
- Um zero em omegaz=0.1 dá +20 dB/década acima de 0.1 rad/s.
- Um pólo em omegap=2 dá –20 dB/década acima de 2 rad/s.
- Um pólo em zero (termo 1/s) já dá –20 dB/década desde omega=0.
Frequências de canto: omega=0.1 (zero) e omega=2 (pólo).
  1. Para omega<0.1: só o pólo em zero e a constante contam, então a inclinação é –20 dB/década e o ganho em omega=0.1 vale
    20log104cdot0.10.1cdot2 =20log100.2 approx-13.98;dB
    Logo para omega<0.1:
    |H|rm dBapprox -13.98 -20log10!l(tfracomega0.1r)
  2. Para 0.1: o zero de 0.1 cancelou o papo do pólo em zero, então a inclinação é 0 dB/década. Fica constante em
    $$|H|{\rm dB}\approx -13.98 +20\log{10}!\bigl(\tfrac{\omega}{0.1}\bigr)\Big|_{\omega=0.1}
    =6.02;dB.$$
  3. Para |H|rm dBapprox -13.98 +20log10!l(tfracomega0.1r)|omega=0.1 =6.02;dB: entra o pólo de 2, adiciona –20 dB/década. O valor em omega>2 é 6.02 dB, então
    omega=2

Passo 3

Agora a fase. A gente soma as fases de cada termo:
  • Constante positiva (4) não mexe na fase.
  • Zero em 0.1 tem fase phiz=arctan!tfracomega0.1. Assintoticamente vai de 0° a +90°, centrando a rampa entre 0.01 e 1 rad/s.
  • Pólo em zero (termo 1/jomega) dá –90° fixo.
  • Pólo em 2 tem fase phip=-arctan!tfracomega2, que vai de 0° a –90°, rampa entre 0.2 e 20 rad/s.
Num Bode assintótico simplificado, cada transição é um passo de 0 para +90 ou 0 para –90 em torno da frequência de canto. Assim:
  1. omega<0.1: zero em 0.1 ainda não “abre”, pólo em 2 idem, sobra só –90° do pólo em zero.
  2. 0.1: zero já deu +90°, pólo em 2 ainda tá em 0°, soma fica –90+90=0°.
  3. omega>2: zero deu +90°, pólo em 2 levou –90°, pólo em zero dá –90°, total = –90+90–90=–90°.

Resposta

Módulo (em dB):
|H(jomega)|rm dBapprox -13.98 -20log10(omega/0.1), & omega<0.1, |H(jomega)|rm dBapprox 6.02, & 0.12
Fase (em graus):
ang<= H(jomega)approx -90^circ, & omega<0.1, ang<= H(jomega)approx 0^circ, & 0.12

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