Trace o diagrama de Bode de
Passo 1
Beleza, a questão pede para traçar o diagrama de Bode da função de transferência
Conteúdo: resposta em frequência (Bode), ou seja, magnitude em dB e fase em função de ω.
O que vamos usar:
- Modelar cada “fator” (polo ou zero) e seu ganho.
- Encontrar as frequências de quebra (ω₀).
- Montar assintoticamente a curva de magnitude (dB vs. log ω) somando as inclinações de cada fator.
- Fazer o mesmo para a fase.
Passo 2
Identificação dos fatores e frequências de quebra:
- Ganho estático: 9 ⇒ desloca tudo em +20 log₁₀(9)≈+19,1 dB.
- Fator zero de segunda ordem:
– Natural ω_{n1}=√1=1 rad/s, ζ₁=0,2/(2·1)=0,1.
– Assintoticamente atua como +40 dB/dec a partir de ω=1. - Polo integrador:
– Tem inclinação –20 dB/dec desde ω→0. - Fator polo de segunda ordem:
– ω_{n2}=√9=3 rad/s, ζ₂=1,2/(2·3)=0,2.
– Assintoticamente gera –40 dB/dec a partir de ω=3.
Portanto, frequências de quebra: ω=1 rad/s e ω=3 rad/s.
Passo 3
Montando a magnitude assintótica (em dB):
- Começamos em ω≪1: só o polo em zero (–20 dB/dec) mais ganho de +19,1 dB.
- Em ω=1 rad/s: entra o zero 2ª ordem ⇒ acrescenta +40 dB/dec, fazendo a inclinação passar de –20 para +20 dB/dec.
- Em ω=3 rad/s: entra o polo 2ª ordem ⇒ aplica –40 dB/dec, mudando a inclinação de +20 para –20 dB/dec no final.
Resumo da inclinação da magnitude:
- 0 < ω < 1: –20 dB/dec
- 1 < ω < 3: (+40 – 20) = +20 dB/dec
- ω > 3: (+40 – 20 – 40) = –20 dB/dec
E todo o gráfico está deslocado para cima em +19,1 dB por causa do ganho 9.
Passo 4
Montando a fase de forma aproximada:
- O integrador (pólo em zero) dá –90°.
- O zero de 2ª ordem em ωₙ₁=1 varia a fase de 0° até +180° ao longo de ~uma década abaixo e acima de 1.
- O polo de 2ª ordem em ωₙ₂=3 varia a fase de 0° até –180° ao longo de ~uma década abaixo e acima de 3.
Assim:
- Em ω≪1: só o integrador ⇒ fase ≈ –90°.
- De ~0,1 a ~10 rad/s em torno de 1: soma de –90° + progressão de até +180° ⇒ fase sobe até +90°.
- De ~0,3 a ~30 rad/s em torno de 3: soma de +90° mais queda de até –180° ⇒ fase vai a –90° no final.
Resposta
Diagrama de Bode assintótico de G(jω):
Magnitude (dB):
- Começa com inclinação –20 dB/dec e offset +19,1 dB.
- Em ω=1 rad/s sobe a inclinação para +20 dB/dec.
- Em ω=3 rad/s cai para –20 dB/dec.
Fase (º):
- Inicia em –90°.
- Sobe até +90° em volta de ω=1.
- Despenca até –90° em volta de ω=3.