Trace o diagrama de Bode de
G(s)=9(s^2+0,2 s+1)s(s^2+1,2 s+9)

Passo 1

Beleza, a questão pede para traçar o diagrama de Bode da função de transferência
G(s)=9,(s^2+0,2s+1)s,(s^2+1,2s+9),
Conteúdo: resposta em frequência (Bode), ou seja, magnitude em dB e fase em função de ω.
O que vamos usar:
- Modelar cada “fator” (polo ou zero) e seu ganho.
- Encontrar as frequências de quebra (ω₀).
- Montar assintoticamente a curva de magnitude (dB vs. log ω) somando as inclinações de cada fator.
- Fazer o mesmo para a fase.

Passo 2

Identificação dos fatores e frequências de quebra:
  1. Ganho estático: 9 ⇒ desloca tudo em +20 log₁₀(9)≈+19,1 dB.
  2. Fator zero de segunda ordem: s^2+0,2s+1
    – Natural ω_{n1}=√1=1 rad/s, ζ₁=0,2/(2·1)=0,1.
    – Assintoticamente atua como +40 dB/dec a partir de ω=1.
  3. Polo integrador: 1/s
    – Tem inclinação –20 dB/dec desde ω→0.
  4. Fator polo de segunda ordem: s^2+1,2s+9
    – ω_{n2}=√9=3 rad/s, ζ₂=1,2/(2·3)=0,2.
    – Assintoticamente gera –40 dB/dec a partir de ω=3.
Portanto, frequências de quebra: ω=1 rad/s e ω=3 rad/s.

Passo 3

Montando a magnitude assintótica (em dB):
  1. Começamos em ω≪1: só o polo em zero (–20 dB/dec) mais ganho de +19,1 dB.
  2. Em ω=1 rad/s: entra o zero 2ª ordem ⇒ acrescenta +40 dB/dec, fazendo a inclinação passar de –20 para +20 dB/dec.
  3. Em ω=3 rad/s: entra o polo 2ª ordem ⇒ aplica –40 dB/dec, mudando a inclinação de +20 para –20 dB/dec no final.
Resumo da inclinação da magnitude:
  • 0 < ω < 1: –20 dB/dec
  • 1 < ω < 3: (+40 – 20) = +20 dB/dec
  • ω > 3: (+40 – 20 – 40) = –20 dB/dec
E todo o gráfico está deslocado para cima em +19,1 dB por causa do ganho 9.

Passo 4

Montando a fase de forma aproximada:
  1. O integrador (pólo em zero) dá –90°.
  2. O zero de 2ª ordem em ωₙ₁=1 varia a fase de 0° até +180° ao longo de ~uma década abaixo e acima de 1.
  3. O polo de 2ª ordem em ωₙ₂=3 varia a fase de 0° até –180° ao longo de ~uma década abaixo e acima de 3.
Assim:
  • Em ω≪1: só o integrador ⇒ fase ≈ –90°.
  • De ~0,1 a ~10 rad/s em torno de 1: soma de –90° + progressão de até +180° ⇒ fase sobe até +90°.
  • De ~0,3 a ~30 rad/s em torno de 3: soma de +90° mais queda de até –180° ⇒ fase vai a –90° no final.

Resposta

Diagrama de Bode assintótico de G(jω):
Magnitude (dB):
  • Começa com inclinação –20 dB/dec e offset +19,1 dB.
  • Em ω=1 rad/s sobe a inclinação para +20 dB/dec.
  • Em ω=3 rad/s cai para –20 dB/dec.
Fase (º):
  • Inicia em –90°.
  • Sobe até +90° em volta de ω=1.
  • Despenca até –90° em volta de ω=3.

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