Esboce os gráficos de ganho e fase para as funções de transferência
G1(s)=20 s(s+1)(s+10) G2(s)=300(s^2+2 s+4)s(s+10)(s+20)

Passo 1

Resumo do que a gente vai fazer: o exercício pede pra gente “esboçar” os diagramas de Bode (ganho em dB e fase em graus) de duas funções de transferência:
e
.
Conteúdo: teoria de Bode – decompomos em fatores “zero na origem”, “polo simples” e “pares complexos”, depois somamos as retas assimptóticas de magnitude e de fase. Não vamos pular nada: vou explicar cada regra e cada cantinho do gráfico.

Passo 2

Esboço da magnitude de :
  1. Decomposição canônica:
    – Zero na origem ganho .
    – Polo simples em .
    – Polo simples em .
  2. Frequências de canto: , .
  3. Slopes assimptóticos:
    – Para : só o zero de origem domina → +20 dB/dec.
    – Entre 1 e 10: zero de origem (+20) e um polo em 1 (-20) = 0 dB/dec.
    – Para : zero (+20) e dois polos (-40) = -20 dB/dec.
  4. Nível de referência: em a magnitude é
    dB,
    que usamos pra posicionar a reta na virada.

Passo 3

Esboço da fase de :
  1. Contribuições individuais:
    – Zero na origem: +90°.
    – Polo em 1: – variando de 0° (ω≪1) a –90° (ω≫1), fase de transição entre 0.1 e 10 rad/s.
    – Polo em 10: – variando entre 0° (ω≪10) e –90° (ω≫10), fase de transição entre 1 e 100 rad/s.
  2. Soma das fases:
    – Em ω≪0.1: ≈+90°.
    – Em torno de ω=1: começa a cair 45° (polo em 1).
    – Em torno de ω=10: cai mais 45° (polo em 10).
    – Para ω≫100: +90°–90°–90°= –90°.

Passo 4

Esboço da magnitude de :
  1. Decomposição canônica:
    – Polo na origem: –20 dB/dec desde o começo.
    – Par de zeros complexos com , : +40 dB/dec a partir de ω≈2 (quebra em 2).
    – Polo simples em 10: –20 dB/dec a partir de ω=10.
    – Polo simples em 20: –20 dB/dec a partir de ω=20.
  2. Slopes assimptóticos acumulados:
    – ω<2: –20 dB/dec.
    – 2<ω<10: –20+40 = +20 dB/dec.
    – 10<ω<20: +20–20 = 0 dB/dec.
    – ω>20: 0–20 = –20 dB/dec.
  3. Nível de referência: em ω=2 a gente ajusta usando dB mais o ganho dos zeros e polos naquele ponto.

Passo 5

Esboço da fase de :
  1. Contribuições:
    – Polo na origem: –90°.
    – Par de zeros em ωn=2: +180° de ganho total, transição de fase entre 0.2 e 20 rad/s (cada zero contribui +90°).
    – Polo em 10: –90°, transição entre 1 e 100.
    – Polo em 20: –90°, transição entre 2 e 200.
  2. Soma:
    – ω≪0.2: –90°.
    – Perto de 2 rad/s: sobe gradualmente até –90+180=+90°.
    – Em torno de 10: cai 45° (polo em 10) → +45°.
    – Em torno de 20: cai mais 45° (polo em 20) → 0°.
    – Para ω≫200: –90+180–90–90 = –90°.

Resposta

Diagramas de Bode esboçados com:
– Para : magnitude com cantos em 1 e 10 rad/s, slopes +20→0→–20 dB/dec; fase de +90°→0°→–90° conforme explicado.
– Para : magnitude com cantos em 2, 10 e 20, slopes –20→+20→0→–20 dB/dec; fase de –90°→+90°→+45°→0°→–90° no alto.

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