Esboce os gráficos de ganho e fase para as funções de transferência
Passo 1
Resumo do que a gente vai fazer: o exercício pede pra gente “esboçar” os diagramas de Bode (ganho em dB e fase em graus) de duas funções de transferência:
e
.
Conteúdo: teoria de Bode – decompomos em fatores “zero na origem”, “polo simples” e “pares complexos”, depois somamos as retas assimptóticas de magnitude e de fase. Não vamos pular nada: vou explicar cada regra e cada cantinho do gráfico.
Conteúdo: teoria de Bode – decompomos em fatores “zero na origem”, “polo simples” e “pares complexos”, depois somamos as retas assimptóticas de magnitude e de fase. Não vamos pular nada: vou explicar cada regra e cada cantinho do gráfico.
Passo 2
Esboço da magnitude de
:
- Decomposição canônica:
– Zero na origemganho .
– Polo simples em.
– Polo simples em. - Frequências de canto:
, . - Slopes assimptóticos:
– Para: só o zero de origem domina → +20 dB/dec.
– Entre 1 e 10: zero de origem (+20) e um polo em 1 (-20) = 0 dB/dec.
– Para: zero (+20) e dois polos (-40) = -20 dB/dec. - Nível de referência: em
a magnitude é
dB,
que usamos pra posicionar a reta na virada.
Passo 3
Esboço da fase de
:
- Contribuições individuais:
– Zero na origem: +90°.
– Polo em 1: –variando de 0° (ω≪1) a –90° (ω≫1), fase de transição entre 0.1 e 10 rad/s.
– Polo em 10: –variando entre 0° (ω≪10) e –90° (ω≫10), fase de transição entre 1 e 100 rad/s. - Soma das fases:
– Em ω≪0.1: ≈+90°.
– Em torno de ω=1: começa a cair 45° (polo em 1).
– Em torno de ω=10: cai mais 45° (polo em 10).
– Para ω≫100: +90°–90°–90°= –90°.
Passo 4
Esboço da magnitude de
:
- Decomposição canônica:
– Polo na origem: –20 dB/dec desde o começo.
– Par de zeros complexoscom , : +40 dB/dec a partir de ω≈2 (quebra em 2).
– Polo simples em 10: –20 dB/dec a partir de ω=10.
– Polo simples em 20: –20 dB/dec a partir de ω=20. - Slopes assimptóticos acumulados:
– ω<2: –20 dB/dec.
– 2<ω<10: –20+40 = +20 dB/dec.
– 10<ω<20: +20–20 = 0 dB/dec.
– ω>20: 0–20 = –20 dB/dec. - Nível de referência: em ω=2 a gente ajusta usando
dB mais o ganho dos zeros e polos naquele ponto.
Passo 5
Esboço da fase de
:
- Contribuições:
– Polo na origem: –90°.
– Par de zeros em ωn=2: +180° de ganho total, transição de fase entre 0.2 e 20 rad/s (cada zero contribui +90°).
– Polo em 10: –90°, transição entre 1 e 100.
– Polo em 20: –90°, transição entre 2 e 200. - Soma:
– ω≪0.2: –90°.
– Perto de 2 rad/s: sobe gradualmente até –90+180=+90°.
– Em torno de 10: cai 45° (polo em 10) → +45°.
– Em torno de 20: cai mais 45° (polo em 20) → 0°.
– Para ω≫200: –90+180–90–90 = –90°.
Resposta
Diagramas de Bode esboçados com:
– Para : magnitude com cantos em 1 e 10 rad/s, slopes +20→0→–20 dB/dec; fase de +90°→0°→–90° conforme explicado.
– Para : magnitude com cantos em 2, 10 e 20, slopes –20→+20→0→–20 dB/dec; fase de –90°→+90°→+45°→0°→–90° no alto.
– Para
– Para