Considere a função de transferência
G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{25(s+2)}{s^{2}(s+7)(s+9)}
com realimentação unitária em malha fechada.
Determine o erro em regime permanente considerando as seguintes entradas:
r(t)=2 u(t), e(\infty)=

Passo 1

O enunciado nos dá a função de transferência em malha aberta
G(s) = \frac{25\,(s+2)}{s^{2}(s+7)(s+9)}
com realimentação unitária e a entrada de referência
r(t)=2\,u(t).
Queremos o erro em regime permanente
e(\infty)=\lim_{t\to\infty}e(t).
Para isso, vamos usar o teorema do valor final e a relação de erro em sistemas de realimentação.

Passo 2

Em sistemas de realimentação unitária, a função de erro é
E(s) = R(s) - Y(s) = R(s)\,\frac{1}{1+G(s)}.
Aqui R(s)=\dfrac{2}{s} e Y(s)=G(s)\,E(s).

Passo 3

Pelo teorema do valor final,
e(\infty) = \lim_{t\to\infty}e(t) = \lim_{s\to 0} s\,E(s) = \lim_{s\to 0} s \,\frac{R(s)}{1+G(s)}.
Substituindo R(s)=2/s, obtemos
s\,R(s) = 2 \quad\Longrightarrow\quad e(\infty) = \lim_{s\to 0}\frac{2}{1+G(s)}.

Passo 4

Calcule G(0):
G(0) = \frac{25\,(0+2)}{0^{2}\,(0+7)(0+9)} = \frac{50}{0} = \infty.
Isso significa que o sistema é de tipo 2 (dois polos na origem), o que garante erro zero para entrada degrau. Portanto,
e(\infty) = \frac{2}{1+\infty} = 0.

Resposta

e(\infty)=0

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