Considere a função de transferência
G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{25(s+2)}{s^{2}(s+7)(s+9)}
com realimentação unitária em malha fechada.
Determine o erro em regime permanente considerando as seguintes entradas:
r(t)=(6 / 2) t^{2} u(t), e(\infty)=

Passo 1

O enunciado dá o sistema com função de transferência em malha aberta
G(s)=\frac{25\,(s+2)}{s^{2}(s+7)(s+9)}
e realimentação unitária. Pede o erro em regime permanente e(\infty) para a entrada
r(t)=\frac{6}{2}\,t^{2}\,u(t)=3\,t^{2}\,u(t).
O conteúdo é análise de erro estático em sistemas de controle: identificamos o tipo do sistema e usamos a constante de erro apropriada.

Passo 2

Primeiro, obtemos a transformada de Laplace de r(t). Como
\mathcal{L}\{t^{2}\}=\frac{2}{s^{3}},
temos
R(s)=3\cdot\frac{2}{s^{3}}=\frac{6}{s^{3}}.
Em seguida, determinamos o tipo do sistema contando polos em s=0 de G(s). Há
\,s^{2} no denominador, logo são duas integrações e o sistema é de tipo 2. Para entrada polinomial de grau n=2 (parábola), o erro em regime permanente é finito e dado por
e(\infty)=\frac{A}{K_{a}},
onde A é o numerador de R(s)=A/s^{3} (aqui A=6) e K_{a} é a constante de aceleração.

Passo 3

A constante de aceleração K_{a} define-se por
K_{a}=\lim_{s\to0}s^{2}\,G(s).
Logo,
K_{a} =\lim_{s\to0}s^{2}\,\frac{25\,(s+2)}{s^{2}(s+7)(s+9)} =\lim_{s\to0}\frac{25\,(s+2)}{(s+7)(s+9)} =\frac{25\cdot2}{7\cdot9} =\frac{50}{63}.

Passo 4

Aplicando a fórmula do erro em regime permanente para parábola:
e(\infty)=\frac{A}{K_{a}} =\frac{6}{\tfrac{50}{63}} =6\cdot\frac{63}{50} =\frac{378}{50} =\frac{189}{25}.

Resposta

e(\infty)=\frac{189}{25}.

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