Considere a função de transferência do processo,
e o polinômio característico do sistema em malha fechada
:
Suponha que podemos usar um controlador PI ou PD com ganho proporcional positivo; escreva as equações características do sistema apropriadas para cada controlador. Sem análise adicional, você pode julgar se um controlador PI ou PD é mais viável para estabilizar o sistema?
Suponha que podemos usar um controlador PI ou PD com ganho proporcional positivo; escreva as equações características do sistema apropriadas para cada controlador. Sem análise adicional, você pode julgar se um controlador PI ou PD é mais viável para estabilizar o sistema?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede que a gente pegue o processo
e monte o polinômio característico em malha fechada, isto é
para dois tipos de controlador: PI e PD. Depois, sem fazer análise profunda, dizer qual deles parece mais “amigável” para estabilizar o sistema.
Conteúdo envolvido: teoria de controle em malha fechada, definição de polinômio característico e formas padrão de controladores PI e PD. Vamos usar essas fórmulas e dar uma explicada em cada etapa.
Conteúdo envolvido: teoria de controle em malha fechada, definição de polinômio característico e formas padrão de controladores PI e PD. Vamos usar essas fórmulas e dar uma explicada em cada etapa.
Passo 2
Teoria rápida: em malha fechada, a condição de estabilidade (ou de definição do sistema) vem de
Para o controlador PI, usamos a forma
Substituindo em
, temos
Passo 3
Agora vamos escrever isso como um polinômio “limpo”. Primeiro, chamamos
e fazemos
(multiplicando tudo por
para eliminar frações).
Então o polinômio característico do PI fica
Então o polinômio característico do PI fica
Passo 4
Para o controlador PD, a forma é
Repetindo o mesmo raciocínio:
leva a
Logo, o polinômio característico do PD é
Passo 5
Teoria extra rapidinha:
- Controlador PI adiciona um polo em zero (integrador), o que costuma aumentar o erro de fase e pode piorar a margem de estabilidade se já houver oscilação no processo.
- Controlador PD adiciona um zero que dá “avanço de fase”, ajudando a estabilizar modos oscilatórios.
Sem fazer root‐locus ou colocar números específicos, dá pra ver que o PD traz fase extra para combater o par de polos imaginários (
) do processo. O PI, ao contrário, adiciona mais fase atrasada (o integrador), o que tende a piorar a instabilidade.
Resposta
Polinômio característico com PI:
Polinômio característico com PD:
Sem análise extra, o controlador PD é mais viável para estabilizar esse sistema.