Considere a função de transferência do processo,
Gp(s)=2(s+1)s(s+2)(s^2+1)
e o polinômio característico do sistema em malha fechada 1+Gc(s) Gp(s)=0:
Suponha que podemos usar um controlador PI ou PD com ganho proporcional positivo; escreva as equações características do sistema apropriadas para cada controlador. Sem análise adicional, você pode julgar se um controlador PI ou PD é mais viável para estabilizar o sistema?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede que a gente pegue o processo
Gp(s)=2(s+1)s(s+2)(s^2+1)
e monte o polinômio característico em malha fechada, isto é
1 + Gc(s),Gp(s) = 0
para dois tipos de controlador: PI e PD. Depois, sem fazer análise profunda, dizer qual deles parece mais “amigável” para estabilizar o sistema.
Conteúdo envolvido: teoria de controle em malha fechada, definição de polinômio característico e formas padrão de controladores PI e PD. Vamos usar essas fórmulas e dar uma explicada em cada etapa.

Passo 2

Teoria rápida: em malha fechada, a condição de estabilidade (ou de definição do sistema) vem de
1 + L(s) = 0, L(s)=Gc(s),Gp(s)
Para o controlador PI, usamos a forma
Gc(s)=Kpl(1+1Tisr)
Substituindo em 1+GcGp=0, temos
1 + Kpl(1+1Tisr)2(s+1)s(s+2)(s^2+1) = 0

Passo 3

Agora vamos escrever isso como um polinômio “limpo”. Primeiro, chamamos
LPI(s)=Kpl(1+tfrac1Tisr)2(s+1)s(s+2)(s^2+1)
e fazemos
1 + LPI(s)=0;Longrightarrow;s,Ti;s(s+2)(s^2+1) + 2Kpl(Ti,s + 1r)(s+1)=0
(multiplicando tudo por Ti,scdot s(s+2)(s^2+1) para eliminar frações).
Então o polinômio característico do PI fica
boxedTi,scdot s(s+2)(s^2+1);+;2Kp,(Ti,s+1)(s+1);=;0

Passo 4

Para o controlador PD, a forma é
Gc(s)=Kpl(1+Tdsr)
Repetindo o mesmo raciocínio:
1 + Kp(1+Tds)2(s+1)s(s+2)(s^2+1) = 0
leva a
s(s+2)(s^2+1) + 2Kp(1+Tds)(s+1) = 0
Logo, o polinômio característico do PD é
boxeds(s+2)(s^2+1);+;2Kp,(1+Td,s)(s+1);=;0

Passo 5

Teoria extra rapidinha:
  • Controlador PI adiciona um polo em zero (integrador), o que costuma aumentar o erro de fase e pode piorar a margem de estabilidade se já houver oscilação no processo.
  • Controlador PD adiciona um zero que dá “avanço de fase”, ajudando a estabilizar modos oscilatórios.
Sem fazer root‐locus ou colocar números específicos, dá pra ver que o PD traz fase extra para combater o par de polos imaginários ( s^2+1) do processo. O PI, ao contrário, adiciona mais fase atrasada (o integrador), o que tende a piorar a instabilidade.

Resposta

Polinômio característico com PI:
Ti,scdot s(s+2)(s^2+1) + 2Kp,(Ti,s+1)(s+1) = 0
Polinômio característico com PD:
s(s+2)(s^2+1) + 2Kp,(1+Td,s)(s+1) = 0
Sem análise extra, o controlador PD é mais viável para estabilizar esse sistema.

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